有理式
有理式は分子と分母が多項式である分数表現
有理式は２つの多項式の比である
有理式の分母
有理式の分母は$ 0にならない→分母の多項式の零点を除外する必要がある。 $ \frac{x^2+5x+6}{x^2+7x+10} = \frac{x^2+5x+6}{(x+2)(x+5)} したがってこの式は$ x = -2, -5においては定義されない
通常の分数のように約分できるか？ → xを不定元としてみたときはできる? 有理関数では既約分数の形にもできるが元の式の定義域をカバーしなければならない。
有理方程式を解く場合は得られた解から未定義の値を除外する。 $ f(x) = \frac{x^2+5x+6}{x^2+7x+10} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}\ \mathrm{for} \ x\neq -2
グラフでは$ y=1がx軸平行の漸近線。$ x = -5がy軸並行の漸近線として現れる。 そして、$ x=-2は不連続点 である。($ f(x)は$ x = -2に除去可能な不連続点 (removable discontinuity) を持つという。) 有理式の通分
$ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{11}{12}
有理式の通分でも同じ
$ \frac{2}{(x-2)(x+1)} + \frac{3}{(x+1)(x+3)}
$ = \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)} + \frac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)}
$ = \frac{2(x+3) + 3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)} = \frac{2x+6 + 3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)} = \frac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)}