随伴からモナドを構成する

『圏論の道案内』.icon pp.234-238の読書メモだが、あまりこの内容の立ち位置を理解していないmrsekut.icon

タイトルもこれで適切なのかわかっていないmrsekut.icon

$ \mathscr{A}\overset{F}{\underset{G}\rightleftarrows}\mathscr{B}の合成関手$ GFが$ \mathscr{A}におけるモナドになる

$ \mathscr{A}\overset{F}{\underset{G}\rightleftarrows}\mathscr{B}の合成関手$ FGを考えるとき以下のような自然変換が得られる

$ FG\xRightarrow{\epsilon}\mathrm{id}_\mathscr{B}

この式に左から$ G、右から$ Fを合成したもの考えると以下になる

$ GFGF\xRightarrow{G\epsilon F}GF

GF*GF->GFと見ることができる

2乗したものが1乗のものに変換できる

どうやって合成関手を作る？

↓随伴の合成

結合律

$ GFの3乗を、$ GFに変換することを考える

https://gyazo.com/059f6bd1fca222f50f81bcc2e67b0b6e

変換の際に以下の二通りが考えられるが、共に同じものになる

$ GFG_\epsilon F:GF(GFGF)\to GFGF

時計回り

$ G_\epsilon FGF:(GFGF)GF\to GFGF

反時計回り

『圏論の道案内』.iconp.236

単位律

https://gyazo.com/32ee2525a137fbe8bc245b518e6e4b8c

これは三角等式から導ける

『圏論の道案内』.iconp.237

何を表している