負の二項分布

negative binomial distribution

ベルヌーイ試行列において、$ r回成功するまでに要する試行回数を表す分布

$ \mathrm{NB}_(r,p)と表記

確率$ pで成功する試行を$ r回成功するまで行う

PMF

$ \operatorname{Pr}(X_{\mathrm{NB}_(r,p)}=k)=\left(\begin{array}{c}k+r-1 \\k\end{array}\right) p^{r}(1-p)^{k}

$ p: 成功確率

$ r: 目標とする成功回数

$ r=1,2,..

$ k: 成功が$ r回達成されるまでの試行回数

$ \left(\begin{array}{c}k+r-1 \\k\end{array}\right)は二項係数

期待値

$ E(X)=\frac{pr}{1-p}

分散

$ V(X)=\frac{pr}{(1-p)^2}

例

code:py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.stats import nbinom

# パラメータ

r = 10 # 目標とする成功回数

p = 0.5 # 成功確率

k = np.arange(r, 101) # 試行回数の範囲（rから始める）

# 負の二項分布のPMFを計算

pmf = nbinom.pmf(k-r, r, p)

# プロット

plt.figure(figsize=(8, 6))

plt.plot(k, pmf, 'bo-', ms=3, alpha=0.5)

plt.title('Negative Binomial Distribution PMF (r=10, p=0.5)')

plt.xlabel('Number of Trials (k)')

plt.ylabel('Probability')

plt.grid(True)

plt.show()

https://gyazo.com/1b8cb03ad1ad0bf4efc0f91f40bfa0f1

ユースケース

コインを5回表が出るまでコインを投げ続けたときに、裏が出る回数は、負の二項分布に従う

「コインを5回投げたときに表が出る確率」は二項分布に従うmrsekut.icon