条件付き期待値
conditional expectation
ある条件が与えられた状況での平均値
定義
確率変数$ Xと$ Yがある時
$ Y=yのもとでの$ Xの期待値は以下で表される
$ E(X \mid Y=y) = \sum_{x} x \cdot P(X=x \mid Y=y)=\sum_{x} x \frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)}
$ Y=yのもとで、$ Xが$ xになる確率
例
確率変数$ Xの条件付き期待値 $ E(X \mid Y=y)
$ Y = yという条件が与えられたときの $ Xの期待値を意味する
サイコロの例
通常の期待値は、
$ E(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5
出目が偶数である時の条件付き期待値は
$ E(X \mid X \text{ is even}) = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4
$ V(X|Y)=E(X^2|Y)-E(X|Y)^2