有向集合
定義
空でない前順序集合$ (A, ≤)で、任意の2元が上界を持つものを有向集合と言う つまり、$ \forall a\in A\;\forall b\in A\;\exist c\in A\;(a\le c\land b\le c)を満たすものが存在する
つまり、$ A内でどの2元を選んでも、共通の親なるものが必ず存在する
https://gyazo.com/a48e72db3e81e91343f72d0fca8f0865
$ a,bの共通の親なるものは、$ cだし、
$ a,cの共通の親なるものは、$ c
この「親なるもの」は上界のことmrsekut.icon
ある一つの元に向かって伸びていくことを指して「有向」と呼んでいる
https://gyazo.com/aa91936891a70d71475e1a300b8d5c22
伸びていく場所が2点、3点になっているものは有向ではない
ピンと来ない場合は、全順序集合との違いを考えれば良い
それぞれの雑な定義
全順序集合
半順序集合で、
任意の2元が比較可能である
有向集合
半順序集合で、
$ \forall a,b\in Aに対し、$ a\le c, $ b\le cとなる$ c\in Aが存在する
前者の場合は、任意の2元が比較可能
後者の場合、
任意の2元$ a,bが比較可能とは限らないが、
それら2元のいずれに対しても比較可能な元が存在する
$ aと$ b同士は比較できるとは限らない点が前者と異なる
これは、完全律を入れるかどうかの話と同じ話mrsekut.icon
具体例
参考
非常にわかりやすい