普遍性の捉え方
こう捉えると良さそうmrsekut.icon
集合 A, Bに対して「AとB両方へ射を出せる対象」はたくさん存在する
↓こういうノリの$ Xが様々存在する
https://gyazo.com/6184f2d260a1f6e71026493618cd12ba
しかし、それらは "余分な構造" を持っている
A と B へ同時に射を出すことはできるが、「AとBの情報だけで十分か？」と問うと、そうではない
e.g. $ A\times B\times C
こういうノリの$ Xの中から、最も一般的であるものがあると嬉しい
そんな特別な$ Xを★と表そう
https://gyazo.com/5482aa64f6e6854ccdcef4debfdb16af
「最も一般的」というのは、「他のすべての候補がそこを“経由して”説明できる」という意味
具体的には
A と B への射を持つ任意の対象 X に対して、
一意な射 $ u: X \to A \times B が存在して、$ \pi_1 \circ u = f, $ \pi_2 \circ u = g になる
つまり、「X が持ってる A, B への情報」は、★にマップすることで一意に表せる
https://gyazo.com/a391c9d7e39a0d9abfef12217fe28b7b
$ X_1は★を経由することで、一意に表せる
他の$ X_2, X_3,\cdotsも同様に★を経由することで一意に表せる
こういう$ X的な対象の中で最も一般的である★のことを「積」と呼び、「$ A\times B」と表記する
直観的に言うと
$ A \times Bは「AとBの両方の情報をちょうど一緒に持つ最小限の場所」
例えば、他の候補$ A \times B \times Cは、AとB以外に余計な情報(C)を含んでいる
だから「A×B から C に戻る射」を通して説明できる
つまり、「どんな別の構造も A×B を通して記述できる」＝「A×B が最も一般的」