指数分布 - mrsekut-p

指数分布

ポアソン過程において、連続した2つのイベントが発生する時間間隔をモデル化する確率分布

例

災害が起こってから次に起こるまでの期間

地震が起きる間隔

機械が故障してから次に故障するまでの期間

電球の寿命

人とすれ違うタイミングの間隔

母数$ \lambda\gt0に対して↓

期待値

$ E(x)=\frac{1}{\lambda}=\theta

分散

$ V(x)=\frac{1}{\lambda^2}=\theta^2

確率密度関数

ある期間に平均して$ \lambda回起こる現象が、次に起こるまでの期間$ Xが指数分布に従うとき

$ X=xとなる確率密度関数$ f(x)は以下の通り

$ f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}

$ \lambda: 単位時間あたりの平均イベント数

$ x: 時間間隔

$ x\ge 0

累積分布関数

$ F(x)=1-e^{-\lambda x}

積率母関数

$ M(t)=\frac{1}{1-\frac{t}{\lambda}}

例

code:py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.stats import expon

# パラメータ

lambda_ = 1.0 # 平均発生率（λ）

x = np.linspace(0, 10, 100) # 時間間隔の範囲

# 指数分布のPDFを計算

pdf = expon.pdf(x, scale=1/lambda_)

plt.figure(figsize=(8, 6))

plt.plot(x, pdf, 'bo-', ms=3, alpha=0.5)

plt.title(f'Exponential Distribution PDF (lambda={lambda_})')

plt.xlabel('Time Interval (x)')

plt.ylabel('Probability Density')

plt.grid(True)

plt.show()

https://gyazo.com/010e91ac96b170d63672aed4a5fe42eb