強い完全性定理
strong completeness theorem
$ \Gamma\vDash B\Leftrightarrow \Gamma\vdash B
$ \Gammaが無限集合のときも成り立つ
強い完全性定理が成り立てば自動的に普通の完全性定理も成り立つ
定理
$ \Gamma\vDash\varphi\Rightarrow\Gamma\vdash\varphi
$ \Gammaは任意の論理式の集合
$ \varphiは任意の論理式
丁寧に書いた版
言語$ Lの閉論理式の集合$ \Gammaと閉論理式$ \varphiについて、以下が成り立つとする
言語$ Lのストラクチャ$ \mathcal{M}について、$ \mathcal{M}\vDash\Gammaならば$ \mathcal{M}\vDash\varphiである
このとき$ \Gamma\vdash\varphiである