余積の普遍性

$ A,Bを対象とする

任意の対象$ Xと、射$ x_A: A\to X, $ x_B:B\to Xに対して、

射$ A+B\to Xで以下の図式を可換にするものが一意に存在する

https://gyazo.com/f797f82845b3faa915f79a15a8e5533b

この時、

$ \left\{\begin{array}{l}x_A \\x_B\end{array}: A+B \rightarrow X\right.であり、

$ \left\{\begin{array}{l}x_A \\x_B\end{array}(m)\right. =\left\{\begin{array}{l}x_A(a) & (m=t_A(a)の時) \\x_B(b)&(m=t_B(b)の時)\end{array}\right.である

場合分けのイメージmrsekut.icon

つまり、

$ \left\{\begin{array}{l}x_A \\x_B\end{array}\circ t_A = x_A\right.かつ

$ \left\{\begin{array}{l}x_A \\x_B\end{array}\circ t_B=x_B\right.であり、

$ \left\{\begin{array}{l}x_A \\x_B\end{array}\right.はこの様になる唯一の関数になる

$ t_A,t_Bのことを入射と呼ぶ

もしくは余射影

これらは包含写像である

https://gyazo.com/12943a3abe4ff92b0c22483c79d652d0

②→③がすごいところ

③→①は自明

②→①は上2つより自明