ベータ積分
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ベータ積分（ベータ関数）は、数学および統計学で非常に重要な関数です。
特に、確率論や解析学の分野で広く使用されます。ベータ関数は、以下のように定義されます。
ベータ関数の定義
ベータ関数$ B(x, y) は、次のように定義されます：
$ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, dt
ここで$ x > 0および$ y > 0です。
特徴
対称性: ベータ関数は次のような対称性を持っています。
$ B(x, y) = B(y, x)
関係式: ベータ関数は、ガンマ関数との関係があり、次の式が成り立ちます。 $ B(x, y) = \frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
ここで、$ \Gamma(n) はガンマ関数で、$ n > 0 の整数に対して $ \Gamma(n) = (n-1)! です。
特別な値: 特定の値に対するベータ関数の計算は、簡単に求めることができます。
$ B(1, 1) = 1
$ B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \int_0^1 \sqrt{t(1-t)} \, dt = \frac{\pi}{8}
例
$ B(2, 3) の計算
$ B(2, 3) = \int_0^1 t^{2-1} (1-t)^{3-1} \, dt = \int_0^1 t (1-t)^2 \, dt
この積分を計算すると、
$ = \int_0^1 (t - 2t^2 + t^3) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{2t^3}{3} + \frac{t^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}
これをまとめると、
$ = \frac{6}{12} - \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{1}{12}
また、ガンマ関数を使っても計算できます。
$ B(2, 3) = \frac{\Gamma(2) \Gamma(3)}{\Gamma(5)} = \frac{1! \cdot 2!}{4!} = \frac{1 \cdot 2}{24} = \frac{1}{12}
このように、ベータ関数は様々な方法で計算でき、非常に便利な数学的ツールです。