ベータ分布
$ \text{Beta}(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}
GPT-4.icon
ベータ分布は、確率論と統計学において非常に重要な連続確率分布の一つです。
特に、確率や割合を表す際に広く使用されます。
以下に、ベータ分布の基本的な特徴と性質を解説します。
ベータ分布の定義
ベータ分布は、パラメータ $ \alpha と $ \beta の2つの正の形状パラメータによって特徴付けられ、以下の確率密度関数（PDF）で表されます：
$ f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}}{B(\alpha, \beta)}
ここで、$ B(\alpha, \beta) はベータ積分です 定義域
ベータ分布は $ x が $ [0, 1] の範囲にあるときに定義されます。
このため、確率や割合のような0から1の間の値を取る変数に適しています。
パラメータの意味
$ \alpha : 成功の回数を表すパラメータ。$ \alpha が大きいほど、分布は1に近づきます。
$ \beta : 失敗の回数を表すパラメータ。$ \beta が大きいほど、分布は0に近づきます。
特徴
期待値:
$ E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}
分散:
$ \text{Var}(X) = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}
モード:
$ \alpha > 1 および $ \beta > 1 の場合:
$ \text{Mode} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}
$ \alpha \leq 1 または $ \beta \leq 1 の場合は、モードは境界値（0または1）になります。
ベータ分布の用途
ベイズ統計: ベータ分布は、ベルヌーイ試行の成功確率の事前分布としてよく使われます。 信頼区間の構築: 確率や割合の推定において、信頼区間を構築する際に利用されます。
シミュレーション: 確率的なモデルやシミュレーションにおいて、確率変数の生成に使われます。
グラフの例
ベータ分布は、パラメータ $ \alpha と $ \beta の値によって形状が大きく変わります。例えば：
$ \alpha = 1, \beta = 1 : 一様分布
$ \alpha = 2, \beta = 2 : 中心が1に寄った形
$ \alpha = 5, \beta = 1 : 右に偏った形