F代数は圏論的な代数
F-代数ってどのへんが「代数」なん？ところを理解したいmrsekut.icon 雑な結論としては、
「F-代数」というなんか特殊な概念があるのではなく、
圏論的に「代数」を表現したものであり、
その際にFunctorを使って表現されるから、「F-代数」と呼んでいる
という感じに捉えると良さそう
Wikipediaにも下記のような一文がある
文脈上紛れの虞が無い場合は、函手 F を明示するための接頭辞 F- を省略して単に代数ということがある。 ref モノイドとは、組(M, e, *)のことで、以下のようなもののことであった
データ
M: 台集合
操作
単位元
e: $ e\in M
積の演算
*: $ M\times M\rightarrow M
結合律・単位律を満たす
これを圏論的に表現すると下記のようになる
関手
$ F(X) = 1 + X \times X
構造写像
$ \alpha : F(M) \to M
どういうことか？
まず、モノイドの「操作」を圏論的に表現すると下記のようになる
単位元
$ e: 1 \to M
単位元という要素を射として表現している
積の演算
$ \ast: M \times M \to M
この2つ操作のどちらかを選ぶので直和を取って
$ F(X) = 1 + X \times Xを関手とする
この関手を見れば、その代数構造で定義されている操作が全てわかる
$ \alpha : F(M) \to Mは、
その代数構造における操作から1つを選んで適用していることを表す
モノイドの例なら
1 → M成分を、単位元として解釈し
M × M → M 成分を、積として解釈する
これによって、実際に演算を実施できる
圏$ \mathscr{A}とその上の自己関手$ F:\mathscr{A}\to\mathscr{A}に対し、
組$ (A,\alpha)のことを F-代数 と言う
$ Aは、$ \mathscr{A}の対象
$ \alphaは、射$ F(A)\to A
上記のモノイドの例を思い出すと、
関手$ Fが、その代数構造における演算を全て表現している
他の例を適当に見てみると、
$ F(X) = 1 + X \times X
定数1つ、二項演算1つある
$ F(X) = A \times X
状態 (A) を消費する演算
$ F(X) = 1 + A \times X
リスト