非交和 - mrsekut-p

非交和

direct sum

各集合の出自を指示する符牒を与えた上でとった和集合

多分だけど「出自の指示」とかは重要な観点ではなく、重複の除去とかを無視した、「全体」として意味合いの方が大きいのでは、とかと思っているmrsekut.icon

$ \sqcupや$ +で表記する

2つの集合の場合の定義

$ A+B=\{\lang 0,x\rang|x\in A\}\cup \{\lang 1,y\rang | y\in B\}

$ A\sqcup Bとも書く

この定義の$ 0や$ 1は何でもよく、「$ Aから来たもの」「$ Bから来たもの」がわかりさえすればいい

例えばこのページでは、記号「$ \ast」を1つ使って表現している

もっとわかりやすく$ \lang a, x\rang, \lang b,y\rangとかでもなんでもいい

一般化した定義

$ \bigsqcup_{i\in I}A_i:=\bigcup_{i\in I}\{(x,i)|x\in A_i\}

位数

$ |A+B|=|A|+|B|になる

$ A,Bの元の重複を無視して足し合わせることになるので元は単純に和になる

元の集合を部分集合に持つ

$ \lang 0,x\rangと$ xを同一視すれば

$ A\sube A+B

$ \lang 1,y\rangと$ yを同一視すれば

$ B\sube A+B

和集合との違い

集合$ A,Bが重複する元を持つ場合、和集合$ A\cup Bはその元は1つだけ含まれる

e.g. $ A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}なら、$ A\cup B=\{1,2,3,4\}

非交和は、重複の有無は関係なく、出自を明示して本当の意味(?)での全体を取る

e.g. $ A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}なら、$ A+B= \{(A,1),(A,2),(A,3),(B,3),(B,4)\}

故に$ A,Bが互いに素であれば、$ A\cup Bも$ A+Bも同じもになる

参考

本書では「直和」と呼んでいる