一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する
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2017/3/27
この本は、高校の数学・物理を履修した人向けに書かれています。
まず、専門の内容に入る前に、数学、物理の準備をしましょう。
次に、相対論を読むときの第一関門となる「テンソル」を具体的な計算をしながら説明します。 直線のテンソルを分かったところで、いったん特殊相対性理論に進みます。
次に直線のテンソルの話を曲線・曲面のテンソルに拡張し、その中で第二関門である「共変微分」をじっくりと説明します。 最後に一般相対論のキーコンセプトとなる曲率の概念を手に入れれば、あとは一気に一般相対性理論を理解することができます。 重力場の方程式の一番単純な解から、重力波の方程式までを解説します。
第 1 章 数学の準備 19
1 ベクトル積
2 微分の公式
3 3次元の座標変換
4 スカラー場，ベクトル場のイメージ
5 勾配
6 発散
7 回転
8 勾配，発散，回転の公式
9 ポテンシャル
10 スカラー場の線積分
11 ベクトル場の線積分
12 曲面の面積
13 ベクトル場の面積分
14 逆 2乗法則についての計算
15 波動方程式
17 変分法
18 アインシュタインの縮約記法
第 2 章 物理の準備 123
1 ニュートンの重力場方程式
2 応力テンソル
3 流体の基礎方程式
4 クーロンの法則の書き換え
5 静電場のエネルギー
6 アンペールの法則の書き換え
7 ファラデーの電磁誘導の法則の書き換え
8 電磁波
9 静磁場エネルギー
10 マックスウェルの応力テンソル
11 マックスウェルの方程式をポテンシャルで書き換え
第 3 章 テンソルと直線座標のテンソル場
1 $ T^r_s(V)とテンソル積$ \otimes 2 基底の取り換えと成分の書き換え
3 $ T^r_s(V)
4 テンソルの縮約・縮合
5 $ T^r_s(V)の成分の書き換え
6 成分の書き換えとテンソルの演算
7 物理流のテンソルの定義
8 テンソルの添え字の上げ下げ
9 テンソル場のことはじめ
10 スカラー場の微分
11 テンソル場の変換則
12 テンソル場の変換則 まとめ
第 4 章 特殊相対性理論 297
1 方程式の共変性
2 特殊相対論の課題
4 ローレンツ変換の導出
5 ローレンツ収縮の対等性
17
8 速度・加速度の変換則
9 速度の 4元化
10 固有時･
11 4元加速度，4元力
12 力学的なエネルギー・運動量テンソル
13 マックスウェルの方程式の 4元化
14 ローレンツ力の共変性
15 電磁場のエネルギー・運動量テンソル
第 5 章 曲線座標のテンソル場 411
1 曲線座標
2 曲線座標におけるベクトル場の表現
4 曲線座標の接続係数
5 ベクトル場の微分
6 テンソル場の微分
7 テンソル場の微分 まとめ
8 テンソル場としての計量テンソル
9 計量テンソルについての公式
10 曲面のテンソル場
11 曲面のテンソル場の変換則
第 6 章 曲率
1 平面上の曲線の曲率
2 曲面の曲率
3 驚きの定理
4 $ R^i_{jkl}
5 曲率の計算
6 平行移動による曲率の説明
2 等価原理で線素を求める
3 局所ローレンツ系
4 一般座標系での固有時
5 一般座標系に書き換える
6 潮汐力と曲率
8 重力場方程式の左辺を絞り込む
10 一般相対論の検証
11 重力波の方程式