群の生成形
群演算の元で、Sの有限個の元と逆元の結合で得られる元全体の集合を＜S＞とする
＜S＞はGの部分群である
このとき、
$ <S> = \bigcap_{S \subset G'} G' （G': Gの部分集合）
つまり、<S>は部分集合Sを含むようなGの最小の部分群
最小性は右辺がいってる
本にはさらりと書いてあったが、上の等式は証明がしたい
とおもって下に書いて見たが、簡単だった
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$ <S> \supset \bigcap_{S \subset G'} G' の証明
とくにG'に対し<S>が選べるので、少なくとも右辺の要素 gに対し $ g \in <S>
$ <S> \subset \bigcap_{S \subset G'} G' の証明
左辺の要素sに対し、sは定義より
$ s = g_1^{n1} g_2^{m2} ... \, ( g_n \in S)
と表せる
任意のGの部分集合G'に対して、$ S \subset G' のとき $ g_i \in S \subset G'なので、
$ g \in \bigcap_{S \subset G'} G'