濃度の大小
濃度の大小
当然、自然数であれば大小の順序が入る
濃度の大小も同様に考えられる
部分集合となるかどうか
これは当然だが、真部分集合だからといって、濃度が真に小さくなるとは限らないのに注意
Nと2Nなど、いくらでも考えられるはず
p68あたり、単射で定義するとか
定義
$ \mathfrak{m}, \mathfrak{n}を２つの濃度とする
A,Bをそれぞれ、$ cardA = \mathfrak{m}, cardB = \mathfrak{n}である任意の集合とする。
もしAからBへの単射が存在するなら
あるいはAがBのある部分集合と対等
mはnを超えない、
あるいはmはn以下
nはm以上
といい、
$ \mathfrak{m} \le \mathfrak{n}
と書く
これは自然数の大小の順序を拡張したものになる
定理
$ \mathfrak{m} \le \mathfrak{m}
$ \mathfrak{m} \le \mathfrak{n}, \mathfrak{n} \le \mathfrak{m} \Rightarrow \mathfrak{m} = \mathfrak{n}
$ \mathfrak{m} \le \mathfrak{n} , \mathfrak{n} \le \mathfrak{p} \Rightarrow \mathfrak{m} \le \mathfrak{p}
真ん中以外は簡単
とくに、$ \mathfrak{m} \le \mathfrak{n} であって、$ \mathfrak{m} = \mathfrak{n}でないときに、
$ \mathfrak{m} \lt \mathfrak{n}と書く。