対称群
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）
「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。 この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、permutation）という。 数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。
置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）と呼ばれる。置換群が空間 X の変換群として与えられているとき、X の元 x の置換は Stab(x) = {σ ∈ SX | σx = x} で与えられる SX の部分群の分だけ潰れているが、これは X のなかに x と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X の中でこれらを区別することができれば X の元の置換から対称群 SX が回復される。 集合 In = {1, 2, …, n} に対し、In から In への全単射全体の集合は写像の合成を積として群になることがわかる。これは n-次の対称群と呼ばれ、
$ S_{n},\quad \Sigma _{n} ,\quad {\mathfrak {S}}_{n} ,\quad {Sym} (n)
などで表される。Sn の元は n 次の置換と呼ばれる。 n-次対称群の位数は n の階乗 n! である。