圏としてのモノイドって集合としてのモノイドなの？

圏としてのモノイドって集合としてのモノイドなの？

ただし、同一ではなくて、あくまで集合かクラスかで言ってることが違うので、

「集合論のモノイド」「圏論のモノイド」を、頭の中では少なくともどっちなのか分かっているように

まず集合論のモノイドから考えると、

なんでもいいから１つの対象Xをとる

｛X｝という集合を考えて、ちなみにこれは集合

Xはなんでもよい

射を、集合としてのモノイドとする

射の合成：モノイドとしての合成

恒等射：モノイドの単位元

さすればこれは圏をなす

集合としてのモノイドが、単一対象圏とみなせるのは分かった

単一対象圏は集合におけるモノイドと言えるのだろうか？

一つしかない対象をXとおく

この圏におけるすべての射は

X->X

これらのクラスは？

圏の定義により、

合成が存在し

結合律がある

恒等射がある

しかしやっぱり、クラスではあるが集合であることは導けない

あくまで集合論におけるモノイドを、クラスの範囲で抽象したものが単一対象圏であるようにおもう

この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ

定義がほとんど同じだから、本質的に同じと言いたくなるのは分かるが

ただ、いままで知っていた集合論のモノイドの概念は、実は集合じゃなくてクラスに対しても当てはめても論が作れるという点がすごいといえる

圏Cの対象 a \in Cを考えると、射 a -> a 全体からなる集合hom(a,a) はモノイドである

https://gyazo.com/63b047b8c436040a151c84c6232e46df

https://gyazo.com/015a91adaa8ee5e09436494d834dbfa6

ちゃんと小さな圏について触れてあった