中心極限定理
大数の法則によると、ある母集団から無作為抽出した標本の平均は標本の大きさを大きくすると母平均に近づく。 平均のみについて主張している
これに対し中心極限定理は
標本平均と母平均との誤差を論ずるものである。
多くの場合、
母集団の分布がどんな分布であっても、
その誤差は標本の大きさを大きくしたとき近似的に正規分布に従う。 二項分布に限らずにmiyamonz.icon
期待値 μ と分散 σ2 を持つ独立同分布 ("i.i.d.") に従う確率変数列 X1, X2, … に対し $ S_{n}:=\sum_{k=1}^{n} X_{k}とおくと、
$ P\left(\frac{S_{n}-n \mu}{\sqrt{n} \sigma} \leqq \alpha\right) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\alpha} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x \quad(n \rightarrow \infty)
つまり、独立同分布に従う確率変数列の部分和を標準化すると、期待値 0, 分散 1 の正規分布 N(0, 1) に分布収束する。