基本公理
定義. 以下の論理式を基本公理と呼ぶことにする．
(1) φ と ψ が論理式のとき φ → (ψ → φ) は基本公理である．
(2) φ と ψ と χ が論理式のとき$ [φ → (ψ → χ)] → [(φ → ψ) → (φ → χ)] は基本公理である．
(3) φ と ψ が論理式のとき (¬ψ → ¬φ) → (φ → ψ) は基本公理である．
(4) φ が論理式，x, y が変数記号で代入条件を満たしているとき $ ∀x φ → φ[x ⇝ y] は基本公理である．
(5) φ と ψ が論理式で x が変数記号，φ が x を自由変数として含まないとする．
このとき ∀x (φ → ψ) → (φ → ∀x ψ) は基本公理である．
(6) ∀x (x = x) は基本公理である．
(7) ∀x ∀y (x = y → y = x) は基本公理である．
(8) ∀x ∀y ∀z (x = y → (y = z → x = z)) は基本公理である．
(9) ∀x0 ∀x1 ∀y0 ∀y1 (x0 = y0 → (x1 = y1 → (x0 ∈ x1 → y0 ∈ y1))) は基本公理である．
(6) から (9) は等号についての公理であり，これらをまとめて等号公理と呼ぶ． これらを基本公理と呼ぶのは、公理系の取り方によらずいつも仮定するから