高校の数学の演習の時間のノートのとり方の問題点について

書き途中(60%)

アホでも数学がしたい。バカでも数学を理解したい。金がなくても数学を続けたい。そのためには不遇な環境であっても少しでも楽しく学んでいけるように工夫するしかないでしょという話を書きました。題意とずれちゃったけど。

数学のゼミ、キレイなレジュメが事前に公開されてるとそれに書き込みしていけばいいので note taking の時間が大幅に削減されてうれしい（関数解析ゼミで思った）。僕がやってる微分幾何もそうすべきなんだろうけど、、TeX 打ちはなかなかめんどい。。

写経派は「板書を手で写すことで式が体に染み込む」とか意味不明なこと言いそうだけど、僕は写経派ではないので（そもそも写経なら一人でできるので、人の話を聞くときは note taking の時間をなるべく圧縮して、話を聞くことにリソースを割きたい）

高校の数学の授業で、問題を解いてきて、授業前にノートから黒板に写して、黒板に写した解答を、意味も分からず写して、先生が解説を書いて、それを意味も分からず写して、写してるうちに授業が終わるみたいな経験していたのだけれど、あれScrapboxとかDiscordで写メを共有した方が合理的じゃ

ICTの教育導入が遅いっていうけど、個人的に、携帯電話持ってたりする人が多いなら、先生を待たずに、情報共有のやり方を工夫して乗り切るみたいなことが大事だと思うんだよな。

これ、Discordで答えを共有することに成功すると、ついでに授業外でのオンライン勉強会みたいなことも企画しやすくなるので、実はかなり美味しいんじゃないかって思うんだよな。クラスの枠も越えて情報共有できるし。

高校生のときに、数学という興味関心から繋がりを作れたかと言うと、全然作れなくて、いまになってみると、そういう関心を深めるようなゆるい繋がりが生まれるようにデザインしていくことが大事なんだなと。

そりゃ意味もわからず写したら意味ねーわ。先生の解説を聞いて注釈をちゃんとつけながら内容を理解しつつ写すなら意味あるでしょ。写メだと見るだけで、具体的な作業をしないから、訓練にならないと思う。

自分のときは、普通科で、高校1~2年(2009年~10年)で数学IA,ⅡB,ⅢCまで文系理系問わず全員受けて、高校3年生のときは文理のクラスを分けて、演習の時間を取っていた。

演習の時間は(覚えてないけど)1コマ確か70分で、大問4つずつ解いて、事前に予習して、当てられた人は休み時間に答えを黒板に書いて（もちろん、答えを用意しても休み時間に写しきれる訳ではない）、解答が書き終わった問題から順番に先生の解説が始まる。

この授業スタイルの特徴

教科書傍用問題集の演習版みたいなものを使っているので、答えが略解しかなくて、自力で考えるしかない。

予習が必須なので、予習を忘れると、大変。

定期試験にそのまま出すというふうに言われていたので、解けるようにしないと卒業が危ぶまれる（時間的に得意な人でないと、定期試験で初見で解けるか怪しい）。とりあえず答えは写しておかないと、後で理解するのに困る。

ただでさえ前の黒板、後ろの黒板まで解答で埋め尽くされるのに、そこに先生が追加でどんどん書き込んでいくので、文字が小さくて読めない。何を書いてるのか、理解している人でないと写してもその場で理解するのが難しい。

次の授業の時間もあるので、考えながら写していたら、最後まで写すことはできない。写すことが目的になってしまって、理解がおろそかになってしまう。

例えば、僕の場合大学の授業で得意科目は、黒板を写す必要もなくて、自分が考えていることをどんどん思いつくまま書いていけば、試験のレポートを書くことにつながるので、板書のうち、知らないことしか写す必要がないけれど、苦手な科目だと、同じやり方ではうまくいかない。

今考えてみると、自分、携帯電話は持っていたが、旧式すぎてカメラの画質が最悪だったのでノートが間に合わなかったときに、カメラで撮るという発想がなかったが、カメラで撮ってる人も普通にいたのだった。

ICTのリテラシーがあまりになかったので、あほな時間の使い方をしてしまう自分のようなバカもいるのだが、実際問題、お金がなくて、何に投資するべきかが分からない人はたくさんいるんだろうな。

ちなみにどこかの通信教育の大学のレポート試験の過去問を共有するLINEコミュニティというのが存在するが、過去問を共有するだけで、教え合うようなことも起きない。多分、答えを売ってる人、買ってる人もいると思うけど、各自、独力で解決することが多そう。試験に合格することだけが目的ならそれでもいいけれども、もっとちゃんと理解しようと思ったら、教科書の全部の解答を書いて準備するべきだと思うけど、まともに考えて、時間が足りないので、ジグソー法などで教え合うようなコミュニティが必要ではないかと思う。

過去問を共有することで問題が的中してしまうので、それしか勉強しないことによって、協力しなくても個人の努力だけで目標が達成できてしまうという状況だった。

可変的な要素

授業スタイル　　　　　　　　　1

試験内容　　　　　　　　　　　1

ICTの学校単位での導入 1

授業でPCを使ってもいいか　　 1

授業を録画できるか　　　　　　1

授業のスピード　　　　　　　　1

授業中に解く問題を選べるか　　1~2

アクティブ・ラーニングだと選べない。一斉授業では、授業が全く理解できないときに、自分のペースで参考書を読むなどの対策が可能であるが、今回のようにテストにそのまま出るという場合、授業を聞かずに、自分のレベルにあった問題演習をするということに対してデメリットが大きいので、やろうと思えばやれるが、実際にするのは難しい。

情報共有の仕方　　　　　　　　1~2

他人が関わることなので、うまく共有できるかは難しいところがある

携帯電話のカメラで撮る　　　　1~3

自分のノートを取るスピード　　3

分からない箇所を先生に聞きにいく 1~2

先生も忙しいし、自分も忙しいので聞ける箇所も限定されるし、知りたいことを先生が理解できるとは限らない

自力で解決しようとする　　　　1~2

多くの問題は自力で解決できずに放置されることに。解決できそうなものしか、サイクルが回ってかない

友達に聞いて解決しようとする　1~2

マッチングがうまくいかない。そもそも解ける人が少ない。時間を自分のために取ってくれる人が少ない。

自分のノートを取るスピードが一番可変的で、考えることにリソースを回して、全部写すことを諦めれば、授業内での頭の使い方としては最適かもしれないが、後で、ノートを誰かに写してもらう必要が出てしまう（これもマッチングが難しい）。

写すのを諦めて、解けなかった問題も自力で解決するように心がけるという手もあるが、数学にめいいっぱい時間をかけて、解決できるならまだまし、苦手なら試験に間に合わないので、試験に失敗してしまうとモチベーションが下がる。

結論

今となってみると、考えることを優先してノートをとって、写せなかった部分は携帯電話で撮って、ScrapboxかOnenoteかで管理するのが一番コストパフォマンスが高かったかもしれない。

僕の持っていた携帯電話は写真の画質が悪すぎてこの発想に到らなかった。もう7,8年前の話なので、今だと少しは条件が違うかも知れない。

ちょっぴりリテラシーが高いと、Discordなどで共有することも可能だが、教員側に怒られる可能性もあると思う。なので、難しいのではないか。大学ならそのあたりゆるくなりそうだが。

目的

定期テストで赤点を取らない

卒業する

大学入試

大学院入試

就活

特定分野を理解する

教員サイドにとっての、この問題のあり方、フィードバックなど

結局のところ教育コストの負担をどうするかという議論なので下みたいに、MOOCなら動画かつ、スクリプトありという配慮だって可能で、これならアクセシビリティはかなり高いし、ノートがとれなくて困るということだって起きないが、そこまで講義を準備するのはコストが高すぎる。

fisdomの微積の講義動画を観て、スクリプトをScrapboxに投げてグーグル翻訳して気になる部分をyoutubeで検索して他の講義動画リンクをscrapboxに投げて埋め込みしてる。こういうmoocの使い方も。

https://gyazo.com/9d3bc0b5942ccbcf0a9323643b16b161

とはいえ、通信教育課程教育学部で数学の免許を取る場合、数学の授業はスクーリングで４コマだけなので、ノートテイキングの問題がほとんど起きない通信教育を選ぶというのも手だと思う。MOOCとセットなら（いつまでも無料で提供してくれるとは限らないが）通常の一斉授業においてノートテイキングが問題になることはない。たとえ、ワーキングメモリが少ないという個性を抱えてようが、耳が聞こえなくても、授業を受けることができる。

そもそも授業についていけない問題に対してどんな対応の仕方があるのか

恥ずかしいね。馬鹿だねって言えばいいのか。

補修をするべきなのか。

ついていけていないことを何らかの形でフィードバックすることが必要なのか。

自分の場合、数学、化学、物理が苦手だったので、文系を選んだ(普通科だとそういう選択が可能だったりするので、そういった制度があればうまく活用する)。

文系を選ぶ→数学の範囲が狭まる、

文系物理を選んだ→物理の範囲が狭まる

反論:数学や物理は範囲を狭めないほうが本質を理解しやすい

再反論:テストに出なくても個人で勝手に理系や大学教養レベルまで勉強するので関係ない。

お金があれば、塾に通えばいい。大学も私立の大学で入れるところへ行けばいい。

note takingで話が聴けなくなる人はnote takingのスキルが低過ぎるだけ。

私は学生時代に英文科の友人に「理系の奴等は黒板に書かれていることしかノートにとらないんだって？」とかなり適切な嫌味を言われたことがある。

ノートには講演者がしゃべったことも書いておかないとつらい。

あと、数学に場合には、ノートをとるスキル以前にそもそも数学的教養が足りな過ぎてノートをまともにとれないケースが多いのではないか？

まとめ

* 板書をノートにうつすだけだとバカにされて当然。

* ノートをとるスキルが低いことや数学的教養に欠けることを自慢げに述べるのはやめた方がよい。

バカにされるようなノートしかとれない場合に無理してノートをとる必要はない。そういう場合があるのは仕方がない。誰でもそういうことはある。

しかし、バカにされてしかるべきことを、自慢げに述べるにはやめた方がよい。

数学的詳細の説明はスライドより黒板の方が聴き易いことが多いと思う。

ノートテイキングの議論でいつも気になるのは、たとえば、読書会におけるノートテイキングとか、授業におけるノートテイキングで、熟達者とそうでない人とで、どんな違いがあるのか。そして、熟達者になるためにはどうしたらいいのかということ。

自分の場合、馬鹿なので、数学も物理も化学も授業についていけなかったし、お金もなかったけれど、参考書や専門書で理解できる箇所から自分のペースで潰していけば、理解できると思える程度には関心があり、自分に自信があったので、とりあえず書籍に投資して、理解できるところまで勉強し尽くして、それから行きたい大学なり行ける大学へいけば、授業中も既習の内容なので、同じような失敗をすることはないと思って、高校卒業したあとは、数学や物理、化学を3年ぐらい独学してた。

恥ずかしいことだし、頭の悪さも悲しくなるし、むいてないと思っているけれども、馬鹿にされたり、できないことでペナルティがあたえられたり、学費を稼ぐためにバイトしないといけなくなるぐらいなら、自分の勉強時間をコントロールできる環境で学んだ方がましだと思っていたし、今でも、そうしない限り、学べなかったことは多かったんじゃないかと思っている。

基本的に公教育は選別としての教育（向いている人を選別し、向いてない人をふるい落とすための教育）の側面が強いと個人的には感じるので、自分の能力を恥じて黙ってろっていうのはそのとおりだと思うし、僕もそれゆえにドロップアウトしたほうがましだと思ってしまったんだよな。

考えてみれば、学年学級制はとても不自然な制度。同じ年生まれの人だけからなるコミュニティは、学校以外にないんじゃないか。この同質性の高い空間が、同調圧力や空気を読み合うサバイバル空間を生み出してしまう。「みんなで同じことを、同じペースで」のために150年前に作られた人為的なシステム。

昔、東大でとても印象的な授業があった。1,2年生の文系向け準必修の数学で、教授は文系のみんなにも数学の楽しさを伝えたかったらしい。13回の授業で毎回トピックが変わり、バナッハタルスキーとかが1コマで証明されていた。まさか学生が自由群や選択公理や測度論を分からないとは思わなかったらしい。

なぜこれを知っているかというと、文一にいた高校の同期が「準必修の授業でかなりの人が履修しているのに虐殺が起きている。何を言っているか誰もまったく分からない。あの同期でもまじめなあいつでさえ絶望して諦めたらしいが、単位が欲しい。」と連絡が来て、ノートを見て絶句したという経緯だった。

期末試験は簡単だった。授業に出てきた定理を一つ選んで、それが一体どう興味深いかを書けばよかったらしいが、もちろん、ほとんどの人はさっぱりできなかったそうだ。もっとも、友人は僕が適当な説明を吹き込んでおいたので、試験後にできたと興奮気味に連絡してきて、説明してくれたのを覚えている。

これは不幸な事故だった。教授は東大文系のレベルを見誤っていたし、東大文系は教授のレベルを見誤っていた。ただ、これだけは言わせて欲しい。教授は、数学にこんなに面白いトピックがあることを伝えられたらみんな喜んでくれるだろうと思っていたはずで、僕はこの純粋な善意がたまらなくいとおしい。

現代数学社から高校生向けの参考書として出てる本には、似たようなやつ（群論、選択公理、測度論など）があるから、理解できるんじゃないかと思ってしまうのも、訳ないけどな。4次元の数学という連載なんか、似たような趣旨で高校生を想定したものだったけど、かなり好きだし　

例えば、4次元の数学のような授業があったとして、予備知識が高校生のときを想像してもらって、それで授業を受けたら、「数学の素養がない馬鹿で恥ずかしいね、自慢するなよ」、みたいなことは言い難いと思うんだよな。必ずしも学力にあった授業を選べるとは限らないので、各自は選んでしまった以上、その制約の中で最適な振る舞いをするしかない。

もちろん、今回の例でいくと「4次元の数学」の連載はもともと文字情報なので、この連載を読むにあたって、わざわざ一字一句写す必要はないし「見るだけで、具体的な作業をしない」ということはなく、むしろ行間であったり、どういうことを言ってるのか、書きながら自分のペースで考えることができたので、これは僕に向いている学習だと思った。全く同じ趣旨の授業を受けていたら、数学が嫌いになったと思う。

「４次元の数学」松平正義　月刊『理系への数学』現在『現代数学』　現代数学社

１　４次元ユークリッド空間　２００５年５月号

２　３次元球面と４次元球体

３　４次元の正多面体

４　正２４胞体

５　オイラー数

６　フェルマー予想とトポロジー

７　複素曲線

８　立体射影

９　４次元の円筒とその交わり

１０　４次元のハンドル

１１　楕円曲線　２００６年４月号

１２　ベルヌーイ数

１３　概複素構造

１４　ファイバー束

１５　球面の接束

１６　接束と接続

１７　曲率

１８　凸体　

１９　ヘロンの公式

２０　２次正方行列　２００７年７月

２１　ボルスク・ウラムの定理

２２　４元数　２００７年９月

２３　カービー計算入門

２４　４次元のベクトルと計量

２５　コバノフホモロジー

２６　三重積分

２７　ハミルトン閉路とハイパーグラフ

２８　一次独立性と共面条件

２９　関数の空間・凸錘の座標

３０　漸化式と微分方程式

３１　オイラー数とゼータ関数

３２　トーリック多様体の特異点解消

３３　基本群

３４　ウエイトと因数分解

３５　斜回転体の体積

３６　旗多様体と球面

３７　４次元の一次変換

３８　平面から平面への写像

３９　パッフィアン

４０　共鳴定理

４１　グラフと実特異点解消

４２　ポワンカレ３球面

４３　スライス結び目と可縮な４次元多様体　

４４　Spin C群

４５　コーシー・シュワルツの不等式

４６　定数係数線形常微分方程式

４７　選択公理と基底

４８　積分幾何学における平均値の手法

４９　ラグランジュの未定乗数法

５０　リーマン・ロッホの定理　２０１０年１１月号

５１　円周上の関数と円周への関数

５２　逆関数定理

５３　５胞体の外心

５４　行列の作る図形

５５　レムニスケート　２０１１年８月号

５６　アロべロスとデカルトの4円定理

５７　ナッシュ均衡と4次元空間内の曲面

５８　回転不変性とパッポス・ギュルダン　２０１２年３月

５９　共面条件と平面の式　２０１２年１月　（未読）

６０　４次元行列と多項式　２０１２年４月

６１　２次行列上の関数

６２　４次元空間内の直線

６３　４次元の楕円と接空間

６４　対称群と平方剰余

６５　行列の標準形

６６　４次元空間内の平面

６７　４次元キューブと行列式

６８　４次元の鏡映と回転

６９　中間値の定理と平均値の定理

７０　配位空間　２０１３年２月号

４次元の数学より抜粋

「今年も週刊誌に大学合格ランキングが載っています。４０年前は東大合格者数第１位の高校は都立日比谷高校で181人合格してました。今年は、30位までにに公立高校が、愛知県立岡崎高校の28人を筆頭に３校しか入っていません。お金もちのみが高い教育を受けられて、専門職が世襲されると、日本の国際競争力がどんどん落ちていきます。そこで、新しいタイプの指導者を育成しようとT大のM教官は高校に出張授業を行うことにしました。その授業のやりとりをここに紹介します。」（「３次元球面と４次元球体」より引用）

「日々感じていることですが、マスコミは、数学をしっかり勉強して論理的な思考ができるようになった理系の学生を５０％以上採用して欲しいものです」

（「４次元の正多面体」より引用）

「生徒諸君から「どの学校を選んだらよいか」という質問を頻繁に受けます。

（１） 校舎の扉の前に立ったとき、歓迎されている感覚があるか、拒絶されていると感じるか。この第一印象が、実は最も大切かも知れません。

（２） 教室は少人数か。黒板は見えるか。図書館に教科書から専門の洋書まで揃っているか

（３） 教官に研究実績があるか。博士号を持っているか。本当の意味での頭の良い教官は、できない学生の気持ちが忖度できるので、親身になって指導して下さいます。

（４） 入試科目に、理系なら国語、文系なら、基礎的な証明問題が出ているか。理工系で数ⅢCが無い所は論外。（引用者注、旧課程理系には数Cがありました）

（５） 前年度までの入学者の顔ぶれはどうか

（６） 就職や進学状況がよいか。国家試験や東大大学院などへの合格者がどれだけいるかを、国や大学院の公開情報から入手する

以上の点を注意して進学先を選ぶと良いと思います。」（「正２４胞体」より引用）

「大学入試で、数学に限らず化学でもオイラー数の問題が出題されているのでした」

（「オイラー数」より引用）

「いろいろ言いたいことがあるのですが、とりあえず感想は「計算と知識で強引に解いている」ですね。塾の先生は、医学部などの学生さんで、数学の専門教育を受けていない人ではないですか」（「立体射影」より引用）

「どんな問題が良い問題なのですか。―余計な条件がなく、すっきりしていて、数学的に自然な疑問に由来する。数学塾で教えるような受験技術が不要で、解き方に多様性がある。オリジナリティがあるか、または数学的背景がある。教科書の公式証明、概念説明などは望ましい。問題集に載っているものは×」

「S；（引用者注　行列の話題をうけて旧課程では行列を）数Cでやるので、文部科学省の教育課程では３年になってからです。うちの高校では先取り学習していますが

M；1,997年入試より前は、高２で習ったので、文系も理系も全員勉強しました。今の文系の人は線形代数をやらないのですか

S；全く習いません。

M；しかし経済学や政治学では、意思決定や状況分析に必須の道具として行列を使います。大学では既知として授業が進むことが多いですけど大丈夫なんでしょうか

S；近所のお兄さんは、遊びまくっていたけど、大学を卒業できてました。卒業後も遊んでいますが

M；今の企業の人事は、即戦力になる人材を欲しがりますからね。大学４年間遊んでいたら一生、フリーターかも」（注、新課程では文系も理系も行列は入試にでません）

「（引用者注、京大文系2007年に行列の問題が出たことをうけ）他の大学の文系でも真似をして欲しいです。難しい問題を出す必要は全く無く、どの教科書にも載っているような基本公式、例えば逆行列の公式などの証明や計算ができれば十分なのですから。若い頃、寝ながらでも授業を聞いていたのと、いないのとでは、社会に出てから、天と地の差になります」

（「４元数」より引用）

「M；学校が勉強を教える所であることを忘れている委員がいると困りますね。

S：学校は集団生活の規則なども学ぶ場所だと思います。

M；それは地域社会の役割です。学力を20年前の水準以上に挙げていくことが、日本の技術立国を持続可能にするために必要です。

S；それでは、学校が予備校化しませんか。

M；高いお金を出して塾に行ける学生だけが、入試や、国試に合格できるというのは異常です。学校がもっとしっかり教えてくれないと困ります。」

「S；入試の背景にある大学数学を解説して、未来の出題を予想するような記事があると効率的な受験勉強ができて嬉しいのですが。

M；私の、この講義がまさにそのような役割を果たしてくれると思いますよ。」（「曲率」）

「東京の多くの大学の１年生に対して大規模な調査を行った結果を見ると

（１） 等比数列の和の公式を書き証明せよ

（２） 剰余の定理を書き、証明せよ。

（３） ２項定理を書き、証明せよ。

（４） 内積の定義を２つ書き、同値性を証明せよetc

のどの問題も悲惨な結果になっています。

S；全部高校の文部科学省検定済み教科書に載っていますが

M；塾の先生が「入試に出ない」などと嘘を言って教えてないのでは。数学の理論を教えられない塾講師が多いのだと推測します。」（「２次正方行列」より）

「M；解説の一言一句を詳細に分析しても、時間の無駄です。大切なのは、自力で問題が解けることです。そのためには問題の数学的背景を暴き出して、類題を練習し、未来の出題に備えることが、効率的な学習法になります。

S；自力で数学的背景を探るなんてできません。

M；そりゃそうです。だから、高校や塾に数学の先生が控えているのです。」

（「関数の空間・凸錘の座標」より）

「S；2,009年の東大合格者数は、筑波大学附属駒場と、愛知県立岡崎が10以内に入ってました。

M；国公立が２校しか入らないのは、格差社会の象徴ですね。私立高に行けるお金持ちの子供の割合が、他大学に比べて、東大合格者に多いというのは、階級の固定化を意味しており、日本経済低迷の病根になっている気がします。」

（「４次元の一次変換」より）

「微分の本質を理解していれば、嘘みたいに簡単に解けます。―略―絶対値の中は、写像Fのヤコビアンと呼ばれるもので、大学1年で習う積分の変数変換の所で出てきます。範囲に縛られて視野狭窄に陥るか、＋αの勉強を教わって１歩高みに登るかで、大きく未来の景色が変わるのです。」

（「平面から平面への写像」より引用）

「S；インターネットで2012年の東大前期の入試を見たら行列が２題も出ていました。

M；へー、そうですか。今年から高校で実施される新課程で、行列が削除されることを東大が快く思っていないのでしょう。」（「2次行列上の関数」より引用）

正直いえば、このレベルのネットの数学の学習サイトってけっこうあって、例えば、青空学園数学科なんかはpdfで落とせるし、書籍化されてる高校数学の美しい物語とか、教員向けの- 怜悧玲瓏　～高校数学を天空から俯瞰する～も大好き。大学生向けならいくらでもある。

大学生向け以上ならいくらでもコンテンツがあると言った根拠は、例えば、下のサイトは古くなってリンクもたくさん切れてるかもだけど、探すのに役立つと思う。

大学の理工系の講義ノートPDFまとめ （数学・物理・情報・工学） - 主に言語とシステム開発に関して