数の文化第1回

素数

2,3,5,7,11……

n番目の素数の大きさp_nってnlognで近似できるよね

定義

自然数pが素数 ⇄ p>1 かつ pの約数は1またpのみ

自然数qが合成数 ⇄ p>1 かつ pの約数は1またpのみ

定理

素数は無限にある

ユークリッドの証明

素数は有限個しかないと仮定

全ての素数の有限数列を考えることができる

p_1,p_2,p_3 ,…, p_n

最大の素数p_nをとることが出来る

a = 1+ Π p_i

aはいずれの素数でも割り切れない……１

p_n < aであるからaは合成数である

aが素数であるならaは最大の素数より小さくなる必要がある

a ≤ p_n でなければならない

合成数はいずれかの(2個以上の)素数で割り切れる ……２

1,2より矛盾

従って、素数は有限個しかないは偽である

素数は無限に存在する

H_n = Σ 1/ n

H_n > 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 +……

不等式で下からおさえる

H_nは発散する

無限級数は必ずしも発散するわけではない

Σ1/2^n = 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 + …

この無限級数は2に収束する

無限等比級数は収束する

S = Σr^kとする

rS = Σr^k+1となる

差を考える

(1-r)S = 1 - r^k+1

r ≠ 1のとき

S = (1-r^k+1)/(1-r)

特に0<r<1のとき

1 = r^0 > r^1 > r^2 > r^3 > …… > 0

このようにr^kはkを大きくするといくらでも0に近づく

lim[n→∞[ r^k = 0

と書く

無限に足す(無限級数とは何か)

部分和の極限のこと

素因数分解が成り立つような環

UFD

素因数分解の一意性が成り立たないような世界がある

Z[√-5[

テスト解説メモ

問題1

1は素数でないことに注意

問題2

26番目の素数は101

問題3

調和級数の定数倍なので発散する

オイラーの証明

背理法

素数は有限個しかないと仮定

先ほどの証明と同じく特別な数を考える

a = Π(Σ1/p^k)

= (1+1/2+1/4+1/8+1/16+…)(1+1/4+1/9+1/27+…)(1+1/5+1/25+…)……(1+1/pn+1/pn^2+1/pn^3)

この数の2通りの計算から矛盾を導く

括弧の中から計算する

これは有限の値の有限個の積となるから、値も有限となる

これを展開すると

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6＋…

これは調和級数であるので発散する

素因数分解は一意であり、この無限積には全ての素数が現れる

矛盾する

よって素数は有限個しかないの否定、素数は無限個あるが導かれる