思考の論理入門の授業メモ11

選言的三段論法から爆発律の説明しようとしている

最初の説明は他の法則から導けるみたいに言わなくてもいいんじゃない？

僕が説明するなら

P∧¬P⊢⊥

Q∧¬Q⊢⊥

R∧¬R⊢⊥

……

P∧¬P∧Q∧¬Q∧R∧¬R∧…⊢⊥

って感じで命題とその否定から矛盾が導ける

逆にそれぞれの矛盾は違ったもののようにも見えるけど、爆発律はそれを同一視する規則

すなわち

⊥⊢P∧¬P∧Q∧¬Q∧R∧¬R∧…

⊥⊢A

爆発律を矛盾除去と書く

問題3

二重否定で選言的三段論法導くよりも、爆発律を使った方がいいよね

爆発律と選言的三段論法は互いに正当化できる

直観主義論理

¬(P∨¬P)⊢P∨¬P

否定の導入では仮定を落とせるけど、爆発律では仮定が落ちたりしないのか

1¬(P∨¬P) 仮定

2P 仮定

2 P∨¬P ∨導入

1,2 ⊥ ¬除去

1 ¬P ¬導入

1 P∨¬P

5.5は軽くだけ触れて飛ばします

爆発律が⊥の役割を述べている

否定の導入除去でも⊥を使っているけど、⊥の働きを述べていない

つまり⊥を使わない定式化がある

A,¬A⊢B 爆発律

{A}…B∧¬B⊢A

逆に¬を用いない定式化もある

¬AはA→⊥の略記とみる

背理法

RAA

背理法を利用してDN規則を証明

⊢¬¬P→P

1 ¬¬P 仮定

2 ¬P 仮定

1,2 ⊥ ¬除去

1 P ¬導入

¬¬P→P 1-4,→導入

演習4

¬(P∧¬Q)⊢P→Q

連言と否定を条件文に置き換え

1 ¬(P∧¬Q) 前提

2 P 仮定

3 ¬Q仮定

2,3 P∧¬Q 2,3,∧導入

1,2,3 ⊥ 1,4,¬除去

1,2 ¬¬Q 3-5,¬導入

1,2 Q 6,DN規則

1 P→Q 1-7,→導入

P→Q,Q→¬P⊢¬P

つまりP→¬Pは¬Pみたいなものってことか

P,¬(P∧Q)⊢¬Q

¬(P∨Q)⊢¬P∧¬Q

ドモルガンの法則だ－！

1 ¬(P∨Q) 前提

2 P 仮定

2 P∨Q 2,∨導入

1,2 ⊥ 1,3,¬除去

1 ¬P 2-4,¬導入

6 Q 仮定

6 P∨Q 6,∨導入

1,6 ⊥ 1,7,¬除去

1 ¬Q 6-8,¬導入

1 ¬P∧¬Q 5,9,∧導入

問題1解いてきてね