独立な2群の母平均についてのt検定

👉 スチューデントのt検定

独立な2群の標本平均$ \bar{X_1},\bar{X_2}からそれぞれの母平均$ \mu_1, \mu_2を推測し、$ \mu_1 = \mu_2となるかどうかを検定する

母集団分布は群ごとに$ N(\mu_1, \sigma^2)、$ N(\mu_2, \sigma^2)と仮定する

母集団の分散が等しいことを仮定している

FYI: F検定で等分散性を検定できる

検定のための前提条件

標本が無作為抽出である

母集団分布が2群とも正規分布にしたがう

2群の分散が等質である

帰無仮説：$ \mu_1 = \mu_2

検定統計量$ t

$ t = \frac{ \bar{X_1} - \bar{X_2} }{ \sqrt{ \frac{ (n_1 - 1) \bar{\sigma_1}^2 + (n_2 - 1) \bar{\sigma_2}^2 }{n_1 + n_2 - 2} ( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} ) } }

$ tは自由度$ df = n_1 + n_2 - 2のt分布にしたがう確率分布

$ X_1 \sim N(\mu_1, \sigma^2)、$ X_2 \sim N(\mu_2, \sigma^2)のとき、2つの群の平均値の差に有意差があるか考える

このとき、2群の標本平均の差$ \bar{X_1} - \bar{X_2}も正規分布にしたがう（らしいlemonadern.icon）

つまり$ \bar{X_1} - \bar{X_2} \sim N( \mu_1 - \mu_2 , \sigma^2(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}))

$ \mu_{\bar{X_1} - \bar{X_2}} = \mu_1 - \mu_2

$ \sigma^2_{\bar{X_1} - \bar{X_2}} = \sigma^2_{\bar{X_1}} + \sigma^2_{\bar{X_2}} = \sigma^2(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})

これを標準化したうえで母分散の推定量として2群をプールした分散$ \hat{\sigma^2}_{pooled}を使うと、上述の検定統計量$ tが導かれる

$ tの帰無分布は自由度$ n_1+n_2-2のt分布になる（らしいlemonadern.icon）