極限
1年生が悩んでた問題を書き殴る所です
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Q. 奇関数$ f(x)の$ 2n回微分は$ x = 0で$ 0になる？
言い換えると、$ f(x)が奇関数ならば、$ f^{(2n)}(0) = 0であるか？
A.
関数$ f(x)は仮定から$ f(x)=-f(-x)であるため、
ここに$ x=0を代入すると、$ f(0) = -f(0)、すなわち$ 2f(0) = 0より$ f(0)=0が得られる
ここで、$ f(x) = -f(-x)の両辺を$ xで微分することを考える
左辺について
$ \dfrac{d}{dx}f(x) = f^{\prime}(x)
右辺について
$ \dfrac{d}{dx}\left\{-f(-x)\right\} = -f^{\prime}(-x)\cdot\dfrac{d}{dx}(-x) = -f^{\prime}(-x)\cdot(-1) = f^{\prime}(-x)
したがって、$ f^{\prime}(x) = f^{\prime}(-x)が得られる。
さらにこれを微分すると、同様の考え方で、$ f^{\prime \prime}(x) = -f^{\prime\prime}(-x)となる。
ここに$ x = 0を代入すると、$ f^{\prime\prime}(0) = -f^{\prime \prime}(-0)となり、移項すると$ 2f^{\prime\prime}(0) = 0が得られる。
したがって、$ f^{\prime \prime}(0) = 0となる。
同様に考えていくと、$ f^{(2n)}(0) = 0 \: (n = 0, 1, 2, \dots)となるため、関数$ f(x)が奇関数であるならば$ f^{(2n)}(0) = 0である。
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$ \lim_{x \rightarrow 0} \left\{ \log(\sin 2x) - \log(\sin 3x) \right\}
$ \begin{aligned} \log(\sin 2x) - \log(\sin 3x) &= \log\left(\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}\right) \\ &= \log \left( \dfrac{\sin 2x}{2x} \cdot \dfrac{3x}{\sin 3x} \cdot \dfrac{2x}{3x} \right) \end{aligned}
したがって
$ \begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0} \left\{ \log(\sin 2x) - \log(\sin 3x) \right\} &= \lim_{x \rightarrow 0} \left\{ \log \left( \dfrac{\sin 2x}{2x} \cdot \dfrac{3x}{\sin 3x} \cdot \dfrac{2x}{3x} \right) \right\} \\ &= \log \left( 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{3} \right) \\ &= \log \dfrac{2}{3} \end{aligned}
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$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n}
$ 0 \lt \dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{2}{n} \times \dots \times \dfrac{n}{n} \leq \dfrac{1}{n} より$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0
したがって$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n} = 0
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