S₂の言語 - 国立公園

S₂の言語

language of the theory $ S_2

定義

順序環の言語$ L_{\rm OR}に以下を加えた言語をS₂の言語という

$ \left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor

scrapboxの都合で以降$ x/2と略記する

$ |x|

$ x \# y

$ x\#1を$ 2^{|x|}と略記する

さらに以下を加えたものをS₂+の言語という

$ \omega_i(x), $ i \in \N

解釈

標準モデルにおける解釈

$ x/2^\N = \left\lfloor \frac{x}{2} \right\rfloor

$ |x|^\N = \begin{cases} \lceil \log_2 (x)+1\rceil &\text{if $x > 0$} \\ 0 & \text{if $x = 0$} \end{cases}

$ xを2進数列と見たときの長さ

$ x\#^\N y = 2^{|x| \cdot |y|}