統計学
【データの分類】
質的変数：カテゴリー別（性別など）
量的変数：数値データ（離散型・連続型）
【データの要約指標】
中心傾向
平均値：$ \bar{x}=\frac{\sum x}{n}
中央値：データの中央値
最頻値：最も頻出する値
散らばり
分散：$ s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}
標準偏差：$ s=\sqrt{s^2}
範囲（最大値－最小値）
四分位範囲（IQR）＝Q3－Q1
/icons/hr.icon
加法定理：$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)
条件付確率：$ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
ベイズの定理：
$ P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
🔹離散型分布
ベルヌーイ分布：成功確率p
平均：p, 分散：p(1-p)
二項分布：n回試行、成功回数
$ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
平均：np, 分散：np(1-p)
ポアソン分布：稀な事象の回数λ
平均・分散＝λ
幾何分布：成功までの回数
$ P(X=k)=p(1-p)^{k-1}, 平均：$ \frac{1}{p}
🔹連続型分布
一様分布(a,b)
密度：$ \frac{1}{b-a}, 平均：$ \frac{a+b}{2}
正規分布N(μ,σ²)
密度：$ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
標準正規分布（z分布）：N(0,1)
指数分布：平均待ち時間1/λ
密度：$ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}
t分布：小標本、母分散未知時使用
カイ二乗分布：分散の検定に使用（自由度によって変化）
🔹2変数分布
同時分布：2変数の同時発生確率
2変量正規分布：2つの正規分布が同時に分布
相関係数ρによって関係性を示す
/icons/hr.icon
🔸点推定：標本統計量で母数を推定
🔸区間推定：母数を含む範囲を推定（信頼区間）
①1標本推定
母平均（母分散既知）：$ \bar{x}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
母平均（母分散未知）：$ \bar{x}\pm t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}
母分散：$ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}}
母比率の推定：$ \hat{p}\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
②2標本推定
2母平均の差：
$ (\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}
母分散の比（F分布）：$ \frac{s_1^2/s_2^2}{F_{\frac{\alpha}{2}}}, \frac{s_1^2/s_2^2}{F_{1-\frac{\alpha}{2}}}
母比率の差：
$ (\hat{p}_1 - \hat{p}_2)\pm z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}
/icons/hr.icon
【統計的仮説検定】
帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）の設定
p値により帰無仮説の棄却を判断（p<αで棄却）
🔹1標本問題の検定
母平均（Z検定）：
$ Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
母平均（t検定, 母分散未知）：
$ t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
母分散の検定（カイ二乗検定）：
$ \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}
母比率の検定（Z検定）：
$ Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}
🔹2標本問題の検定
母分散の比較（F検定）：
$ F=\frac{s_1^2}{s_2^2}
/icons/hr.icon
【線形モデル分析（回帰分析）】
線形回帰：$ y=\beta_0+\beta_1x+\varepsilon
最小二乗法で推定、決定係数（R²）で評価
回帰係数はt検定で有意性を確認