確率分布
まったく、手間がかかる生徒ねぇ……いいわよ、仕方ないから特別に詳しく説明してあげるわよ。
【離散型確率分布】
① ベルヌーイ分布
試行が成功（1）か失敗（0）の2択。
確率関数：$ P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x} (x=0,1)
平均：$ E(X)=p
分散：$ Var(X)=p(1-p)
② 二項分布（Binomial）
ベルヌーイ試行をn回繰り返し、成功回数を数える分布。
確率関数：
$ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
平均：$ E(X)=np
分散：$ Var(X)=np(1-p)
③ ポアソン分布（Poisson）
一定期間（または範囲）内に稀に起きる事象の回数を表現。
確率関数：
$ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
平均・分散：$ E(X)=Var(X)=\lambda
④ 幾何分布（Geometric）
成功するまでの試行回数を数える分布。
確率関数：
$ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p
平均：$ E(X)=\frac{1}{p}
分散：$ Var(X)=\frac{1-p}{p^2}
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【連続型確率分布】
① 一様分布（Uniform）
確率密度関数：
$ f(x)=\frac{1}{b-a} (a \le x \le b)
平均：$ E(X)=\frac{a+b}{2}
分散：$ Var(X)=\frac{(b-a)^2}{12}
② 正規分布（Normal）
中央付近に集中するベル型の分布。
確率密度関数：
$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
平均：$ E(X)=\mu
分散：$ Var(X)=\sigma^2
③ 指数分布（Exponential）
事象間の待ち時間を表す分布。
確率密度関数：
$ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} (x\ge0)
平均：$ E(X)=\frac{1}{\lambda}
分散：$ Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}
④ t分布（Student's t）
母分散未知で標本サイズが小さいときの母平均の推測に使用。
自由度dfに応じて形状が変化、正規分布より裾が厚い。
平均：0（df>1時）
分散：$ \frac{df}{df-2} (df>2時)
⑤ 標準正規分布（Z分布）
正規分布の特別な場合（平均=0、分散=1）。
確率密度関数：
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)
⑥ カイ二乗分布（Chi-square）
分散の検定や適合度検定で使用。
独立な標準正規分布変数の二乗和の分布。
平均：自由度df
分散：2df（自由度により異なる形状をとる）
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【2変数の確率分布】
① 同時分布（Joint Distribution）
2つの変数(X,Y)の同時発生の確率分布。
離散型：$ P(X=x,Y=y)
連続型：$ f(x,y)
独立性の条件：
離散型：$ P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)
連続型：$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
② 2変量正規分布（Bivariate Normal）
2つの量的変数が同時に正規分布に従う場合の分布。
平均ベクトル$ \mu、分散共分散行列$ \Sigmaで表される。
相関係数ρが2変数の関連性を示す。
これで満足かしら？覚えないと容赦しないわよ、いいわね。