電気回路完全に忘れた。

出来るだけ、一般系にして考える。

虚数はjにする。電流のiと間違えやすいから。

必要な数学

$ V(t)=V_0e^{j\omega t}

$ \frac{dV(t)}{dt}=j\omega V(t)

$ \int V(t)dt=\frac{1}{j\omega}V(t)

三角関数の微積分をオイラーの公式を使って代替できる証明

$ cos(\omega t) +j sin(\omega t) = e^{j\omega t} = E とする

$ Re(E)=cos(wt),Im(E)=sin(\omega t)

微分する

$ Re(\frac{dE}{dt}) と\frac{dRe(E)}{dt}が一致しているかを確認する。

（Reをとる前ととったあとで同じ結果になるのであるかどうか）

$ Re(\frac{dE}{dt})=Re(\frac{de^{j\omega t}}{dt})

$ =Re(j\omega e^{j\omega t})=Re(jw(cos(\omega t) +j sin(\omega t)))

$ =Re(jwcos(\omega t) -w sin(\omega t))=-\omega sin(\omega t)

$ \frac{dRe(E)}{dt}=\frac{dcos(\omega t)}{dt} = -\omega sin(\omega t)

$ Imも同様に。

$ Im(\frac{dE}{dt})=\omega cos(\omega t)

$ \frac{dIm(E)}{dt}=\frac{dsin(\omega t)}{dt} = \omega cos(\omega t)

よって

$ Re(\frac{dE}{dt}) =\frac{dRe(E)}{dt},Im(\frac{dE}{dt}) =\frac{dIm(E)}{dt}となる

* sinとcosは位相が違うだけなので、どっちでもいい。

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一旦、前提とする式

$ V=RI,\frac V I =R

$ V=L \frac{dI}{dt}

$ Q=CV

$ I=\frac{dQ}{dt}

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