命題代数の法則
論理同値な命題のわかりやすい (使いやすい) パターンのこと 命題代数の法則を使うと，わざわざ命題の真理値表を作らなくても，¬，∧，∨という記号に関する機械的な操作だけで，命題を別の形の論理同値な命題に変形することができます.つまり，命題全体を，演算¬，∧，∨に関する代数系として扱うことができます． へーcFQ2f7LRuLYP.icon
関連してない
「代数系として扱うことができる」とどんないいことがあるんだろうか
頑張って真理値表で導き出そうとしていたけど、これは「そういうものだ」としてスルーしていいのか？
ルールとして与えられている状態なのか、ルールの中から導き出されているのか
p.18では法則が色々書かれている
同じ操作をしても等しくなる
$ 1\times1=1になるような性質
冪でも等しくなるってことか
$ p\lor p \iff p
$ p\land p \iff p
演算の結合方法を変えることのできる法則
$ (p\lor q)\lor r \iff p\lor(q\lor r)
真理値表で確かめる
table:(p\lor q)\lor r
p q r p∨q (p∨q)∨r
T T T T T
T F T T T
F T T T T
F F T F T
T T F T T
T F F T T
F T F T T
F F F F F
table:p\lor (q\lor r)
p q r q∨r p∨(q∨r)
T T T T T
T F T T T
F T T T T
F F T T T
T T F T T
T F F F T
F T F T T
F F F F F
真理値表が同じになったので
$ (p\lor q)\lor r \iff p\lor(q\lor r)
$ (p\land q)\land r \iff p\land(q\land r)
こちらも確かめてみよう
table:(p\land q)\land r
p q r p∧q (p∧q)∧r
T T T T T
T F T F F
F T T F F
F F T F F
T T F T F
T F F F F
F T F F F
F F F F F
table:p\land (q\land r)
p q r q∧r p∧(q∧r)
T T T T T
T F T F F
F T T T F
F F T F F
T T F F F
T F F F F
F T F F F
F F F F F
真理値表が同じになったので
$ (p\land q)\land r \iff p\land(q\land r)
(余談)真理値表上手くできていない気がする
table:例
B∧C A A∧(B∧C)
T T T
T F F
F T F
F F F
これなら全パターン網羅できてるできてなかった
A,BからA∧Bを導いたり、B,CからB∨Cを導いたりするプロセスは省略してもよいのだろうか
A,B,Cすべての組み合わせを網羅する必要があるtakker.icon
2*2*2=8通り
thxcFQ2f7LRuLYP.icon
2つの演算の引数を入れ替えても同じ値になる法則
$ p\lor q \iff q\lor p
$ p\land q \iff q\land p
一般に，集合Aにおける二つの演算＊，〇と，Aの元a，b，cについてa＊（b〇c）＝（a＊b）〇（a＊c），（a〇b）＊c＝（a＊c）〇（b＊c）が成り立つとき，演算＊は，演算〇に対して分配法則を満たすという。(世界大百科事典)
$ p\lor (q \land r) \iff (p\lor q)\land (p\lor r)
table:p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
p q r q∧r p∨(q∧r) p∨q p∨r (p∨q)∧(p∨r)
T T T T T T T T
T F T F T T T T
F T T T T T T T
F F T F F F T F
T T F F T T T T
T F F F T T T T
F T F F F T F F
F F F F F F F F
おー、一致した
$ p\land (q \lor r) \iff (p\land q)\lor (p\land r)
table:p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)
p q r q∨r p∧(q∨r) p∧q p∧r (p∧q)∨(p∧r)
T T T T T T T T
T F T T T F T T
F T T T F F F F
F F T T F F F F
T T F T T T F T
T F F F F F F F
F T F T F F F F
F F F F F F F F
$ p\lor (q \lor r)のときは……？と思ったけどそれは結合律だった
ただし，p，q，rは命題変数で，tは恒真命題，fは矛盾命題を表すものとします.p.17
$ p\lor f\iff p
table:p∨f
p f p∨f
T F T
F F F
$ p\land t \ \iff p
table:p∧t
p t p∧t
T T T
F T F
$ p\lor t\ \iff t
table:p∨t
p t p∨t
T T T
F T T
$ p\land f \iff f
table:p∧f
p f p∧f
T F F
F F F
真理値表でそうなるのはわかったけれど、さて「同一律って結局なんなんですか？」って言われると答えに窮するなcFQ2f7LRuLYP.icon
(前提を確認してなかった時のログ)
ここよくわからないな……cFQ2f7LRuLYP.icon
真理値表だとfの真偽によって変化してしまわない？
table:p∨f
p f p∨f
T T T
T F T
F T T
F F F
pがF、fがTのときは$ p\lor f\iff pにならない
$ tと$ fの定義を確認したほうがよさそうyosider.icon
なるほど！cFQ2f7LRuLYP.icon
前ページに書いてあったcFQ2f7LRuLYP.icon
ただし，p，q，rは命題変数で，tは恒真命題，fは矛盾命題を表すものとします.p.17
プリントミスだろうなあtakker.icon
誤→正
$ t→$ T
$ f→$ F
ブール束においては，2つの元 A と B の結び A∪B ，交わり A∩B ，そして最大元 I と最小元0の存在と，1つの元 A に対し，A∪A'＝I，A∩A'＝0 となる元 A' を考える。これを A の補元素，あるいは単に補元という。 ははは、全然わからん
恒真命題や矛盾命題が導き出されているように思うけんども
$ p∨\lnot p \iff t
$ p∧\lnot p\iff f
$ \lnot t\iff f
table:¬t ⇔f
t ¬t f
T F F
T F F
$ \lnot f\iff t
table:¬f ⇔t
f ¬f T
F F T
F F T
否定の否定はもとに戻る
ような律？
$ \lnot\lnot p\iff p
table:¬¬p⇔p
p ¬p ¬(¬p)
T F T
F T F
とうとうここまで来た
$ \lnot(p\lor q)\iff \lnot p \land \lnot q
table:¬(p∨q)⇔¬p∧¬q
p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q ¬p∧¬q
T T T F F F F
T F T F F T F
F T T F T F F
F F F T T T T
$ \lnot(p\land q)\iff \lnot p \lor \lnot q
table:¬(p∧q)⇔¬p∨¬q
p q p∧q ¬(p∧q) ¬p ¬q ¬p∨¬q
T T T F F F F
T F F T F T T
F T F T T F T
F F F T T T T
本当に一致しとる……
手を動かして解くと納得感がある