調和級数
調和級数
$ 調和級数:\sum_{n=1}^\infin\frac{1}{n}=\sum_{n=0}^\infin\frac{1}{n+1}
級数$ \sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{n+1}は$ \log2に収束することが知られているが、
$ \sum_{n=0}^\infin\frac{1}{n+1}は発散する
証明
$ s_n:=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}とすると
$ s_{2^k-1}=\frac{1}1+\frac{1}2+\dots+\frac{1}{2^k}
$ = \frac{1}1+\frac{1}{2^1}+\left(\frac{1}{2^1+1}+\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2+1}+\frac{1}{2^2+2}+\frac{1}{2^2+3}+\frac{1}{2^3}\right)+\dots+\left(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\dots+\frac{1}{2^k}\right)
最初の1を除く各項について、かっこの中の右端の項が$ 2^{-i}(i=1,2,3,\dots)になるようにまとめると、各かっこの中の項の数は$ 2^{i-1}個になる
$ \geq1 + \sum_{i=1}^k2^{i-1}\cdot2^{-i}
$ =1 + k\cdot2^{-1}\rightarrow+\infin\quad(k\rightarrow\infin)
$ \therefore s_n\rightarrow+\infin\quad(n\rightarrow\infin).\square
なんだこの極限導出方法は、、、名前付いてるのかな
調べたが特に名前はついてないっぽい？
よって、極限$ \sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n}{n+1}は条件収束する