モンティ・ホール問題

モンティホール問題

3つの扉をA, B, Cとおく

回答者がある扉を選ぶ事象、司会者がある扉を選ぶ事象、ある扉が当たりである事象の確率変数をそれぞれX, Y, Zとする

$ P(X=A,Y=C)=P(Z=\textcolor{red}{A},X=A,Y=C)

$ +P(Z=\textcolor{red}B,X=A,Y=C)

$ +P(Z=\textcolor{red}C,X=A,Y=C)

$ P(Z=\textcolor{red}{A},X=A,Y=C) = \textcolor{orange}{P(Z=A, X=A)}\textcolor{blue}{P(Y=C|Z=A, X=A)}

$ =\textcolor{orange}{P(Z=A)P(X=A)}\textcolor{blue}{P(Y=C|Z=A, X=A)}

$ =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}

$ P(Z=\textcolor{red}B,X=A,Y=C)=P(Z=B,X=A)P(Y=C|Z=B,X=A)

$ = P(Z=B)P(X=A)P(Y=C|Z=B,X=A)

$ =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot1

$ P(Z=\textcolor{red}C,X=A,Y=C)=P(Z=C,X=A)P(Y=C|Z=C,X=A)

$ = P(Z=C)P(X=A)P(Y=C|Z=C,X=A)

$ =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 0

$ \therefore P(X=A,Y=C)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot 0

$ =\frac{1}{6}

「回答者がAを選び、司会者がCを選んだ」ときの商品がBにある確率とAにある確率

$ P(Z=B|X=A,Y=C)=\frac{P(Z=B,X=A,Y=C)}{P(X=A,Y=C)}

$ = \frac{1/9}{1/6}

$ =\textcolor{red}{\frac{2}3}

$ P(Z=A|X=A,Y=C)=\frac{P(Z=A,X=A,Y=C)}{P(X=A,Y=C)}

$ = \frac{1/18}{1/6}

$ = \textcolor{red}{\frac{1}{3}}