サンクトペテルブルクのパラドックス

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サンクトペテルブルクのパラドックス（英: St. Petersburg paradox、独: Sankt-Petersburg-Paradoxon）は、意思決定理論におけるパラドックスの一つである。極めて少ない確率で極めて大きな利益が得られるような事例では、期待値が発散する場合があるが、このようなときに生まれる逆説である。

ベルヌーイが発表した

『確率統計入門:モデル化からその解析へ』.iconp51

硬貨を表が出るまで投げ続ける

最初に表が出るまでに投げた回数に応じて賞金が獲得できる

もらえる賞金はk回ならば$ 2^{k-1}円

期待値はそれぞれいくらか

表が出るまでに投げた回数

賞金

$ k\geq 1について、k回目で最初に表が出る確率は$ 2^{-k}

幾何分布

表が出るまで投げた回数をXとすると

その期待値は$ E(X)=\sum_{n=1}^\infin n\cdot2^{-n}

著者はなんでnに書き換えたんだろう、、、

$ S_N=\sum_{n=1}^N n\cdot2^{-n}とおくと

$ \begin{aligned}S_N&=1\cdot2^{-1}+2\cdot2^{-2}+\dots+N\cdot2^{-N}\\2^{-1}S_N&=\phantom{1\cdot2^{-1} +}1\cdot2^{-2}+\dots+(N-1)\cdot2^{-N}+N\cdot2^{-N-1} \end{aligned}

上の式から下の式を引いて

$ 2\cdot2^{-2}-1\cdot2^{-2}=(2-1)2^{-2}=1\cdot2^{-2}=2^{-2}

$ N\cdot2^{-N}-(N-1)\cdot2^{-N}=1\cdot2^{-N}=2^{-N}

$ (1-2^{-1})S_N=-N\cdot2^{-N-1}+\sum_{k=1}^{N}2^{-k}

$ 2^{-1}S_N=-N\cdot2^{-N-1}+2^{-1}\frac{1-2^{-N}}{1-2^{-1}}

等比数列の和の公式を使う

これより、$ E(X)=\lim_{N\rightarrow \infin}S_N=2が得られる。

$ S_N=-N\cdot2^{-N}+\frac{1-2^{-N}}{1-2^{-1}}

$ S_N=-N\cdot2^{-N}+2(1-2^{-N})

0 + 2(1-0)

もらえる賞金の期待値は

$ \sum_{k=1}^\infin 2^{k-1}\cdot 2^{-k}=\sum_{k=1}^\infin 2^{-1}=\frac{1}2+\dots+\frac{1}2+\dots=\infin

k回目に表が出る確率*k回目に表が出たときの賞金額」の総和

#ギャンブル