母分散既知の場合

帰無仮説 $ H_0: \mu_1 = \mu_2

対立仮説 $ H_1: \mu_1 < \mu_2

とする。

$ \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{m} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n}}} \sim N(0,1) 平均の差の分布も参考。

$ Z = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{m} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n}}} とおくと、$ \left\{\begin{array}{l}Z < -z_{\alpha} \Rightarrow H_{0} を棄却\\Z \geq -z_{\alpha} \Rightarrow H_{0}を採択\end{array}\right.

参考：入門統計解析 p262