平均の差の分布
$ \bar{X} \sim N\left(\mu_{1}, \frac{\sigma_{1}^{2}}{m}\right)$ \bar{Y} \sim N\left(\mu_{2}, \frac{\sigma_{2}^{2}}{n}\right)であるから、
$ \bar{X} - \bar{Y} \sim N\left(\mu_1 - \mu_2, \frac{\sigma_{1}^{2}}{m} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n}\right)
統計量 $ Z = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{m} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n}}} は、$ N(0, 1) に従う。
ここから、統計量$ Z は $ -1.96 \leq Z \leq 1.96 の間に95%で入ることがわかる。つまり、$ Zの95%信頼区間が得られる。
これを用いて、$ \mu_{1} - \mu_{2}の95%信頼区間を求める。$ Zの分母を払って $ \bar{X} - \bar{Y}を移項し、以下の95%信頼区間を得る。
$ (\bar{X} - \bar{Y}) - 1.96\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+ \frac{\sigma_2^2}{n}} \leq \mu_1 - \mu_2 \leq (\bar{X} - \bar{Y}) + 1.96\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+ \frac{\sigma_2^2}{n}}
参考：入門統計解析 p216