物体からの引力
先は質点に対する万有引力を扱ったが,大きさをもつ物体からの引力を扱う.微小体積要素$ dV'から質点$ mに働く万有引力ポテンシャルを考える.微小要素は質点とみなせるので,そのポテンシャルは
$ dU =-G\frac{mdm'}{r}
と表される.
密度を$ \rhoとすると,微小質量$ dm'と微小体積$ dV'の関係は
$ \rho dV'=dm'
である.この物体の密度が一様とすると,物体全体の万有引力ポテンシャルは
$ U(\bm{r}) =-G\int \frac{m dm'}{r} = -G\int\frac{m\rho dV'}{r}
$ U(\bm{r}) = -Gm\int\frac{\rho(x',y',z) }{\sqrt{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}dx'dy'dz'
である.実際に計算するためには,物体の形状に適した座標系で微小体積要素$ dV'を表す必要がある.