ルベーグ積分 - Emile's note

ルベーグ積分

測度空間$ (X,\mathfrak{B},\mu)と$ E \in \mathfrak{B}上の$ \mathfrak{B}可測函数$ f(x)に対して、$ \int_E f(x)d\mu(x)\left( = \int_E f d\mu\right)を定義していく。

このページでは、記述する集合は全て$ \mathfrak{B}の元であり、関数は$ \mathfrak{B}可測とする。

＊単関数に対する積分

・定義

1. $ f(x) \geq 0の場合

1.-1 $ f(x):単関数の場合

単関数$ f(x)は$ f(x) = \sum_{i=0}^n \alpha_i \mathbb{I}_{E_i}(x)\ \ \ \ \ \left(E = \sum_{i=0}^n E_i,\ \ \ \ \alpha_0 = 0 < \alpha_i \right)と表せる。

この$ f(x)に対して、$ \int_E f d\mu := \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(E_i)と定義する。

※ ↑の定義がwell-definedである事の証明

積分結果が単関数の表現に依存しない事を示す。

$ f(x) = \sum_{i=0}^m \beta_i \mathbb{I}_{F_i}(x)と表せたとする。

この時、$ E_j \cap F_k \neq \phiなら$ \alpha_j = \beta_kとなる。

① $ \mu(E_j \cap F_k) = \inftyなる$ j,kが存在する時

$ \mu(E_j) = \mu(F_k) = \inftyより、$ \int_E f d\mu =\sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(E_i) = \sum_{j=1}^m \beta_j \mu(F_j) = \inftyとなる。

② $ \mu(E_j \cap F_k) < \inftyの時

$ \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(E_i) = \sum_{i=1}^n \alpha_i \left(\sum_{j=1}^m \mu(E_i \cap F_j) \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \alpha_i \mu(E_i \cap F_j)

$ = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \beta_j \mu(E_i \cap F_j) = \sum_{j=1}^m \beta_j \mu(F_j)となる。

以上より示された。

1.-2 $ f(x):一般の非負の関数の場合

Th 10.1(可測函数)より、非負な$ f(x)に近づく単調増加な単関数列$ \{f_n\},\ \ \ f_n(x)\geq0が存在する。

この$ f_nを用いて、$ \int_E fd\mu := \lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_nd\muと定義する。

※ ↑の定義がwell-definedな事の証明

単関数の積分の定義より$ \int_E f_n(x)d\muは$ nについて単調増加となるので、

補助定理3を用いると、積分$ \int_E fd\muは$ f_nの取り方に依存しない。

以上より示された。

2. 一般の$ f(x)の場合($ -\infty \leq f(x) \leq f(x))

$ \int_E f^+d\mu、$ \int_E f^- d\muの少なくとも一方が有限の時に限り、$ f(x)は$ E上で定積分を持つと言い、

$ \int_E fd\mu := \int_E f^+ d\mu - \int_E f^- d\muとして定義する。

$ f: 複素関数の時は、$ Re[f(x)] と$ Im[f(x)] が共に$ E上で可積分の時に限って、

$ \int_E f(x)d\mu := \int_E Re\left[ f(x)\right]d\mu + i \int_E Im\left[f(x)\right]d\mu と定義する。

※ $ \int_E f d\muが有限の時、$ f(x)は$ E上で積分可能 or 可積分と言う。

・定理 : 補助定理1~4は単関数に対する定理。

・補助定理1 :

1. $ f,g \geq 0: E上の単関数とすると、

$ \int_E (f+g) d\mu = \int_E fd\mu + \int_E g d\muが成立。

2. $ f\geq 0:E上の単関数として、$ E \supset A+Bとすると、

$ \int_{A+B} f d\mu = \int_A f d\mu + \int_B f d\muが成立。

・補助定理2 :

$ f_n,\ g \geq 0 : E上の単関数、$ \{f_n\}は$ nについて単調増加で、($ Eの各点$ xで)$ \lim_{n\rightarrow \infty} f_n \geq gならば、

$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n d\mu \geq \int_E g d\muが成立する。

・補助定理3 :

$ E上の非負な$ \{f_n\},\ \{g_n\}が存在して、共に単調増加で$ \lim_{n \rightarrow \infty} f_n = \lim_{n\rightarrow \infty}g_nとすると、

$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_E f_n d\mu \geq \lim_{m\rightarrow \infty} \int_E g_m d\muが成立。

※ 極限は単関数と限らない

・補助定理4 :

1. $ E上で$ f,g \geq 0ならば、

$ \int_E (f+g)d\mu = \int_E fd\mu + \int_E g d\muが成立。

2. $ E上で$ f \geq 0で$ A+B \subset Eならば

$ \int_{A+B} f d\mu = \int_A f d\mu + \int_B f d\muが成立。