部分写像を用いた座標変換

$ E 上の多様体

$ M \coloneqq \left\lang |M|, S \right\rang

where

座標近傍系 $ S=\left\{ (U_\lambda, \varphi_\lambda) \right\}_{\lambda \in \Lambda}

where

$ U_\lambda \in \mathrm{Open}( |M|) : 開集合

局所座標系 $ \varphi_\lambda\colon U_\lambda \cong E

: 位相同型射

#todo この先まだコピペ

$ V_{\lambda\mu} = U_\lambda \cap U_\mu \subseteq |M| におけるλからμへの座標変換 $ \psi_{\lambda\mu}

局所座標系の制限

$ \varphi_{\lambda|\mu} \coloneqq \varphi_\lambda |_{U_\mu} \colon U_\lambda \cap U_\mu\rightarrowtail E

$ \varphi_{\mu|\lambda} \coloneqq \varphi_\mu |_{U_\lambda} \colon U_\mu \cap U_\lambda \rightarrowtail E

さらにそれぞれの余域を像に

なんか多分名前あるよね制限の余域バージョン

ありました余域制限

$ \varphi_{\lambda|\mu} \colon V_{\lambda\mu} \cong V_{\lambda\mu} {,} (\varphi_\lambda)_\triangleright

$ \varphi_{\mu|\lambda} \colon V_{\lambda\mu} \cong V_{\lambda\mu} {,} (\varphi_\mu)_\triangleright

片方を逆写像にしてやっと

$ \psi_{\lambda\mu}\coloneqq \varphi_{\lambda|\mu}^{-1};\varphi_{\mu|\lambda}

$ \psi_{\lambda\mu} \colon V_{\lambda\mu} {,} (\varphi_\lambda)_\triangleright \cong V_{\lambda\mu} {,} (\varphi_\mu)_\triangleright

ごちゃついた定義dragoon8192.icon

部分写像を使うと綺麗になるらしい？