APMA2025

応用数学2（2025年度後期、2年生選択科目）

2021・2022・2023年4月入学生：応用数学（必修科目）

マイク使わないで講義します。後ろ4列は空けてください。

講義で私が話をしている最中でも構わないので、私の話を止めて、質問をしてください。

自分が本当に理解しているか確認する方法：

話の再構成：なにも見ないで、白紙にペンで書いていく

これが説明できればOK

長さ1のベクトルと内積をとることの意味

行列の固有値・固有ベクトルの定義

オイラーの公式、複素数の掛け算の意味

昨年までと違うこと（2025年春あたりから）

利点：しつこく問える

https://gyazo.com/a0f643d90ef657e14b36369265595317

第16回 答案返却・解説

----- 冬休み

第8回

講義の全体像と、このあとの7回の予定について説明

https://gyazo.com/5165b0cdfd877e3b525a2e99b335f981

二次形式の固有値 その2

プリント：演習問題 対称行列の固有値・固有ベクトル、対角化、計算の復習

プリント：後半：主成分分析

連絡事項（意見が欲しい）

12/26の講義について：12/19 に 2コマ実施する案

1/8金 機械学習との接続。「"杉山 将"」先生。杉山先生に聞きたいこと（google 検索、動画検索、予習）。

第7回

コメント

1. 長倉さん

楕円の方程式

ラグランジュの未定乗数法：条件付きの最大・最小化

坂田さん

Eの式からパッとでてくるのが

F を x_1 x_2 で偏微分すれば

紙に書いて計算してみる

福島さん

長さを1にする、なんでか

谷端さん

花田さん

北里さん

新田さん

二次形式、なんの役に立つか

豊福

グループワーク：二次形式の固有値

履修登録 57名

https://gyazo.com/1d0a2c3b9277ebc9b1d956fe63cdc9e4

最初に、グループ分け。11グループ。　説明。~ 15:00

15:05~15:30 4人で

自己紹介：名前、最近面白かったこと、ひとこと

自分の書いたレポートを見て、どういう疑問点があったか、ほかの3人に紹介。その3人はコメントを回答してあげる。

メモをとっておく（→あとで、出席課題として提出）

ChatGPT に聞いてもよい。返ってきた回答で納得できた人は、ほかの人に説明。

それでも、なっとくできない疑問が残る、新たな疑問が発生する（かも）。

記録係、まとめ役が必要。

15:35~

グループごと、発表 2分 x 13 = ほぼ30分　

代表者が1人、発表。

趣旨：人間と会話する練習。説明する練習

自分はコミュニケーション能力がある、と思っているかもしれませんが...

日常会話の大部分は、お互いに分かっていることの確認、でしかない。

「ある程度複雑で新しい知的体系」（例：工学と固有値）を理解し他人に伝え ることが、いかに難しいか。

誰かに話すことでより明確にわかる

聞き手は、納得いくまで問い詰める（人間だと嫌がられるが、ChatGPT に対してはOK）

なんに対して納得いかないか、正確に問うことが求められる

https://gyazo.com/9a7380cb734bdb471999773edac1809b

https://gyazo.com/09187a161fca6ac2298c9f90777fe6a3

https://gyazo.com/e43edfd35441132d4944ca1105a7be8f

第6回

課題 予告 「工学と固有値」後半

微分方程式と線形代数

https://gyazo.com/a7052d0048976fa5ce9dc6afe9036908

固有値・固有ベクトル

https://gyazo.com/0b22e3cb8a74337418c14eb58ed8a936

https://gyazo.com/da2ebb1cd4e2faa9daaca784bad8f1e3

https://gyazo.com/6545fce66e25a65dd3278b14f6b339e7

https://gyazo.com/6bbca134ca66d83b40d813098d1e9b20

https://gyazo.com/dfdf6c35e41782bc6daeabc7663e24c1

https://gyazo.com/196f3d1a18f35efdaa835f9748b32123

https://gyazo.com/989bb67fc672a5e40a2bc325c4f10739

https://gyazo.com/6c459bc36c6a4b24cbb102b208c07c1f

https://gyazo.com/4a47aaf35253bb075595ab650c4ca29d

https://gyazo.com/a7f5381a02b25b54e81132a9e57043e8

https://gyazo.com/c7379822db2bfbdbaecdea760704639e

暗記するのが得意なら、工学と固有値（前半部）は、以下の日本語の文章を丸々暗唱してください。

https://gyazo.com/3676da7873874e69c7901d914d86d323

話の流れ。右の状態の更新の絵（話のネタ）さえ憶えておけば、芋づる的に、話が生成できる。

「すごく不思議だ」

「なんで ...」と感じるのが普通

そこに「驚き」がないと、固有値・固有ベクトルの本質的な意味を見失います

時間があれば

第5回

レポート課題、講評

一人ひとり対応したい

評価基準

読める文章が書かれているか。

AIが書いた文章っぽい。

latex。レポートの見た目。

少し考えれば、わかることではないか？

「一言一句に注意しながら読み，理解・納得できない箇所について整理せよ

「論理が不明瞭な点，ここのところがどうしてもわからない、ということについて、具体的に記述」

単に「· · · が理解できない」と記述するのではなく、不明瞭な点が何なのか伝わるよう記述

レポート課題の範囲が違う

【演習】Google Colab 上で numpy を使い、行列とベクトルの各種計算

p.13 右18 なんで一番大きい固有値が。

https://gyazo.com/6fbc6cda56360943cb4f2b3bea7f3d92

コンピュータ実験：

実験の手順

（本当か？）

code:state_dynamics.py

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# th = np.pi/3

l, P = np.linalg.eig(A)

# print(x)

# print(A.dot(x))

N = 10

X = np.zeros((N+1, 2), dtype=float) # 配列の作成

for i in range(N):

x = A.dot(x)

x = x/np.linalg.norm(x, ord=2)

fig=plt.figure(0) # 以下は結果の表示

t = np.arange(0, N+1, 1) # 横軸 t の作成．0からNまでを1 おきに．t は横ベクトル．

# plt.plot(X) # 細かなことを考えないのであれば，上の3行は，これで置き換えられる

plt.xlabel('time ($t$)', fontsize=14, color='black')

plt.ylabel('$x$', fontsize=14)

# plt.xlim(-1, 10) # 表示範囲を指定したい場合

plt.grid()

plt.legend()

# plt.show()

fig.savefig('fig_matrix101.pdf') # 図の pdf ファイルを作成

print(X) # 数値を直接見たければ

固有値が虚数の場合

https://gyazo.com/9ca5d727b5da58cd93c2458fdb3d5a0b

https://gyazo.com/a61221e11c639ca7c8e698a9d2c2fa8a

https://gyazo.com/4c707f22a2377aa59a788eb37a998bd3

https://gyazo.com/c3febe31ed6d0085d75cc3a83ad2b91c

https://gyazo.com/bab330efe86025cf6f236532aacf7237

「微分方程式とはなにか」

法則、動作原理を記述している

https://gyazo.com/9d9773edb40c260aa244cdee328cbd7b

https://gyazo.com/99131c621da8098110770588a7271f12

https://gyazo.com/eff9a95219d8ab84b1bbb2bbf3e01626

https://gyazo.com/b8fedc891757694885feba1de109659b

https://gyazo.com/cd94f69b0737b2102ba8c7502dede6f7

線形変換とは

ちなみに：「線形写像」＝「線形変換」＝「一次写像」＝「一次変換」

https://gyazo.com/1173d1ffe14b2d44e2a3587417ad2743

https://gyazo.com/ea46e8fb2a45d3b67a05580e4eba49f3

https://gyazo.com/8c67c85face91634fcd4ad372daa768b

https://gyazo.com/b5eff4265895fbc6ccf1cce0ead94309

https://gyazo.com/57bdb89bb3fd6604879ecb3b89672f90

https://gyazo.com/9c6b4312f0b8bbf7b8c0c2471962f278

第4回

新しい試み

4人で

ChatGPT も使って

私（教員）は、答を教えない（これが難しか？）

履修登録 57名

https://gyazo.com/1d0a2c3b9277ebc9b1d956fe63cdc9e4

最初に、グループ分け。13グループ。　説明。~ 15:00

15:05~15:30 4人で

自己紹介：名前、ひとこと。

自分の書いたレポートを見て、どういう疑問点があったか、ほかの3人に紹介。その3人はコメントを回答してあげる。

メモをとっておく（→あとで、出席課題として提出）

ChatGPT に聞いてもよい。返ってきた回答で納得できた人は、ほかの人に説明。

それでも、なっとくできない疑問が残る、新たな疑問が発生する（かも）。

記録係、まとめ役が必要。

15:35~

グループごと、発表 2分 x 13 = ほぼ30分　

代表者が1人、発表。

趣旨：人間と会話する練習。説明する練習

自分はコミュニケーション能力がある、と思っているかもしれませんが...

日常会話の大部分は、お互いに分かっていることの確認、でしかない。

「ある程度複雑で新しい知的体系」（例：工学と固有値）を理解し他人に伝え ることが、いかに難しいか。

誰かに話すことでより明確にわかる

聞き手は、納得いくまで問い詰める（人間だと嫌がられるが、ChatGPT に対してはOK）

なんに対して納得いかないか、正確に問うことが求められる

コメント

8. 日高さん

3つ

線形結合とは？

p.12 左10 t じゃなくて transpose 転置

Aの働き

9. 横山さん

p.13 左 (4)式　の上から、なんで左からかけないといけないのか。

p.12 左　10行目　固有値、固有ベクトル、

定義が先か、定義があとか　　（トランプページ）

p.12 28行目

計算ミス

この解説。どんな例題で説明しようとおもったか。

10. 宮崎さん

p13 左　上。「分解した理由」

転置ってなに？

永谷さん

3つ

y1 y2 p.12

p.12 左

p.13 右18 なんで一番大きい固有値が。

https://gyazo.com/6fbc6cda56360943cb4f2b3bea7f3d92

4. 杉田さん

3つ

p.12 右　30直観イメージ

「変形演算子」

p.13右　絶対値

- 5 鶴崎さん

p.12 30行

6. 武下さん

p.13

現実世界で、固有値がいちばん効いている例は？

7. 谷端さん

4つ

はな？

「対角化」ことば

1. 中園

p.12 10行

eigenvector

2. 加治佐さん

p.12 「線形変換」ことば

固有値を求める計算に、いまひとつ納得できない

p.13 左　まんなか　Λ

表現：ベクトルと行列での表現と、行列を使わない表現

3. 山崎さん

https://gyazo.com/06674a645d5fa0c64ac19bd847fa083c

https://gyazo.com/f7e93b449dbd6a71386b05b8d5701204

第3回

行列とベクトル （第3回 10/17）

配布資料：プリント A3一枚：＃2〜＃5

【演習】Google Colab 上で numpy を使い、行列とベクトルの各種計算

【課題】「工学と固有値」前半部を精読、理解できない点を整理

Overleaf

latexmkrc のつづりが合っているが確認。 lataxmkrc とか latrxmkrc.tex だと動かない。

ログイン後のはじめかた：新しいプロジェクト → 空のプロジェクト、を選択。プロジェクト名は kougi とか、適当に名前をつける

雑談

https://gyazo.com/c42180a49c1a2f8024f4f873134855fa

https://gyazo.com/0cbaf6e76815b87ae950e07a6465907c

どこが難しいのか、もうちょっとだけ具体的に

https://gyazo.com/6f29217d5f3df959175b877ccd92f502

少なくとも、分かりやすい考え方が2通りある。もうちょっと考えれば「わかる瞬間」が来る。もうちょっと

https://gyazo.com/f7660b6c370a7f23a00c2825daa912af

https://gyazo.com/ab1f43246e865c5a25e9370886377383

後で見て、話の筋が分かりやすいような板書をしていません（この点、言い訳たくさんあり。あらかじめあとで見てわかりやすい講義ノートを作りそれを私がそのまま板書する←ライブ感がなくつまらない。私がなにも見ないで考えながら授業するので、どこで考えているか、見ている側はわかります。考えるところはゆっくり進む、計算間違いする、など）。板書をノートに書き写してもらうのは嬉しいですが、たぶん、板書を書き写していると話についていけないので理解できないので、要所だけノートにメモするのがいいです。スライドはあとで見てわかるように作っています。スライド使うと、授業がはやく進んでいいのですが、数式がでてくる科目では不向きです。

https://gyazo.com/726085cf6cce86b73868f6fa1041802e

↑　ここに貼り付けている板書の写真は、私がどんな内容を講義したか忘れないようにするためのメモです。

https://gyazo.com/21588bf381574d4af8143c5bcea7b30d

https://gyazo.com/44e17c704d4008ee1d941d625818dae8

https://gyazo.com/f20b002b857098d12ae75420a4d26205

おっ、それはよかった。

第2回

お願い

プリントには4桁の番号を記述してください

https://gyazo.com/eb75a29c3ed2b6fbcdfb7b1b576be71f

学籍番号は 8つの数字 から構成されています

最初の3つと、最後の一つ（右端）を、除いてください

法線ベクトル

https://gyazo.com/69d081e785ef16243c0a4c7d3d765428

https://gyazo.com/37cbea7966cfe88c457a3310809e3998

https://gyazo.com/66d7b0804c07e0f6b42d7d24d64a3a24

https://gyazo.com/4a4e7fad88575fd8761dd9eabd620a8e

https://gyazo.com/88287c0db799265d5d889986254169fd

雑談

https://gyazo.com/4e1e31efc28510af0c92e24bb1bd7d3e

https://gyazo.com/e6ff333e5ba2f8b8b2c692d8b924818c

https://gyazo.com/5dd75e8998d9d748c588033708296124

https://gyazo.com/01e82e72b105d69e00749b4e517ccaba

プログラミングの授業の何に絶望？　もう少し具体的に教えて下さい

https://gyazo.com/7c9e35aaafda5b055b6a99a4d8a98fef

第1回

配布資料：

甘利俊一、工学と固有値、 数学セミナー、pp.11-16、1981年12月号

第1回

「応用数学」とは 000

文字は大きく書く

記憶するなら：「種（たね、ネタ）」とその展開

「わからないという感覚」が大事

講義で私が話をしている最中でも構わないので、質問をしてください

おすすめ参考書

居室：創造プロジェクト棟の203（2026年5月頃まで）。

https://gyazo.com/18e32f2af3ae1c2d89f8d645e4ecd3b8