Weingarten の式（曲面の微分幾何学）
$ n \cdot n = 1
これを u で微分すると
$ n_u \cdot n = 0
従って， $ n_u は接平面上にあるベクトルなので
$ n_u = a r_u + b r_v となる実数 $ a,b が存在する．
code:tex
\begin{aligned}
-L & = n_u \cdot r_u = a r_u \cdot r_u + b r_v \cdot r_u = aE + bF \\
-M & = n_u \cdot r_v = a r_u \cdot r_v + b r_v \cdot r_v = aF + bG \\
\therefore \quad & a = \frac{FM - GL}{EG - F^2} b = \frac{FL - EM}{EG - F^2} ,
\end{aligned}
と表せる（ $ EG - F^2 > 0 はリンク先で証明済み）．
上述の議論を $ n_v \cdot n に対しても行うと
code:tex
\begin{aligned}
n_u & = \frac{FM - GL}{EG - F^2} r_u + \frac{FL - EM}{EG - F^2} r_v \\
n_v & = \frac{FN - GM}{EG - F^2} r_u + \frac{FM - EN}{EG - F^2} r_v \\
\end{aligned}
と表現でき，これを Weingarten の式 と呼ぶ．
参考文献
小林昭七：曲線と曲面の微分幾何（改訂版），裳華房，1995.