第一基本形式，第二基本形式（曲面の微分幾何学）

第一基本量

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E = r_u \cdot r_u \\

F = r_u \cdot r_v \\

G = r_v \cdot r_v

第一基本形式 first fundamental form

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\begin{aligned}

I & = dr \cdot dr \\

& = ( r_u du + r_v dv) \cdot ( r_u du + r_v dv) \\

& = (r_u \cdot r_u ) du du + 2 r_u \cdot r_v du dv + r_v \cdot r_v dv dv \\

& = E du du + 2F dudv + G dv dv \\

& =

\begin{pmatrix} du & dv \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}

\end{aligned}

第一基本行列

$ \hat{I} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}

ついでに，↓も覚えておく

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( r_u \cdot r_u ) ( r_v \cdot r_v) = \| r_u \|^2 \|r_v \|^2 \geq ( r_u \cdot r_v )^2 \\

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EG \geq F^2

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曲面の法線

$ n = \frac{ r_u \times r_v}{\| r_u \times r_v \|}

$ r_u \cdot n = 0

これを u, v で微分すると

$ r_{uu} \cdot n + r_u \cdot n_u = 0

$ r_{uv} \cdot n + r_u \cdot n_v = 0

$ r_{vu} \cdot n + r_v \cdot n_u = 0

$ r_{vv} \cdot n + r_v \cdot n_v = 0

ここで

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\begin{aligned}

L & = - r_u \cdot n_u = r_{uu} \cdot n \\

M & = - r_u \cdot n_v = - r_v \cdot n_u = r_{uv} \cdot n \\

N & = - r_v \cdot n_v = r_{vv} \cdot n

\end{aligned}

とする，

第二基本形式 second fundamental form は

と定義される．

第二基本行列

$ \hat{II} = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}

参考文献

小林昭七：曲線と曲面の微分幾何（改訂版），裳華房，1995.