無限
人が物を数える方法と同じtakker.icon
例えばりんごがいくつか並んでいたとする
りんごの数を数えるには、一つずつ指差しながら「1, 2, 3, ...」とすべてのりんごを指差すまで呟けばいい
指差しじゃなくて目配せでも勿論構わない
最後につぶやいた数がりんごの総数になる
これは、りんごと自然数(の部分集合)を一対一対応させていることに他ならない
濃度の定義は素朴な数え方と全く同じだということ
無限の次元が違う = 一対一対応ができない = 濃度が異なる
無限の次元が一つ上: 無限の集合から選んだ二項の間にさらに無限が入っている感じ
多項式時間/指数時間の考え方と似たものを感じるblu3mo.icon
例えば整数の集合と自然数の集合は、シンプルに数えたら倍ある
でも、無限だからその差は押し潰されて一対一対応にできる (...-2, -1, 0, 1, 2...に、5,3,1,2,4って感じで整数を対応させる)
一見直観と反してしまうのは、数え終わりがないからでしょうねtakker.icon
もしこれが有限集合同士なら、どちらかが先に数え終わり一対一対応をつくれないので、濃度が違うということになる
e.g. $ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}と$ \{0,2,4,6,8\}とを数え上げると、先に後者の方が数え終わってしまう
前者の要素のうちの4つの要素と対応させられる要素が後者に存在しない
しかし無限集合の場合は数え漏れが永遠に発生しない
それに対して、例えば整数と実数は一対一対応出来ない
有理数集合から二つ項選んだら、その間の項の数は無限 この比較はちょっとずれてるかもtakker.icon
2値間の項の数の有限/無限は関係ない
確かにある2つの相異なる有理数の間には無限個の有理数があるが、一対一対応できないわけではない
数え漏らしを発生させない数え方が存在する
あー、有理数と整数は同じ濃度なんですねblu3mo.icon
一方で実数の場合は、数え漏らしを発生させない数え方がそもそも存在しない
情報科学の達人.icon
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集合を扱う意義: 無限を扱うため