東大1S2線形代数
Lec 3.
def: 「ベクトルらの一次結合でVの任意のベクトルを生成できる」 かつ 「ベクトルらが一次独立」
基底 v_1, .. , v_nをVの生成系という 一次独立であることと基底であることの違いとは..?blu3mo.icon
一次独立なベクトルと言った時に、個数は指定されていないのかblu3mo.icon
「空間の次元数分の一次独立のベクトル」を用意すれば基底になると定義できそう
あー、でもそもそも"次元"がまだ定義されていないのか むしろ基底の定義によって次元を定義するのかなblu3mo.icon
あるベクトルをある基底の線型結合で表す時、その表し方は一意に定まる
まあせやなって感じblu3mo.icon
直交基底だと、$ (5,3) = 5(1,0) + 3(0,1)以外にはない
斜交基底だと、$ (5,3) = 2(1,0) + 3(1,1)以外にはない
対角化とかを考える時に、こういう色々な基底が必要になるのであると嬉しい 物理において、直交基底以外を考えたことない気がするなblu3mo.icon
同じ単位なら斜交基底考えたこともあるけど、例えば速度と時間のベクトルにおいて斜交基底とか考えて嬉しいことあるのかな
相対論で斜交基底を駆使してた気がするtakker.icon
面白そうblu3mo.icon*3
曲がった空間を論じるのにも必要takker.icon
相対論が有名だけど、ほかにも連続体力学で曲面の変形とかを考えるときにも使う
基底の延長
次元の定義とか考えたことなかったなblu3mo.icon
なので、その数を次元とするという定義
さらっと前提だとして流しているけど、本当は証明しないといけないtakker.icon
とはいえ有限次元ベクトル空間なら大した証明じゃないか
授業では有限次元ベクトル空間について証明されていましたーblu3mo.icon
それはよかったですtakker.icon
無限次元ベクトルだと問題になりそう
というかどうやって証明すればいいんだこれ
単純に同じベクトル空間に対する２つの基底間で全単射を構築できることを示せればいい？
定理
どれも感覚的にはせやなって感じ
定理: ベクトルVがある時、n個 ($ n > \dim V)のベクトルを考えると、それらは一次従属 定理: ベクトルVの部分空間Wを考える時、 $ \dim V > \dim W
Lec 2.
ベクトル空間Vがある時、その部分集合でそれ自体もベクトル空間になるやつ
例えば
自然数の部分空間を考えた時、3しかなければ公理の一つを満たさないので部分空間にならないblu3mo.icon
3と-3の両方があれば部分空間になるblu3mo.icon
0（零元）が含まれていなければ部分空間にならない
部分空間の定義/要請
1) 0が含まれている
これいるのかなtakker.icon
空集合を部分空間からはじくなら必要か
「空集合でない」で置き換えられる
2) 二つの元がある時、その和も集合に含まれている
（これがないと和が成り立たない）
3) ある元がある時、その任意のスカラー倍も集合に含まれている
（これがないとスカラー倍が成り立たない）
この三つさえ気にすれば、部分空間は判定できるblu3mo.icon*2
そもそもベクトル空間の部分集合なので、結合律とかのチェックは飛ばせるのねblu3mo.icon
逆元の条件も、3)で-1倍を考えれば内包できているblu3mo.icon
$ ℝ^2の部分空間は、以下の三つだけ
$ \{(0,0)\}, 原点を通る直線, $ ℝ^2
それぞれ0次元, 1次元, 2次元ってことかblu3mo.icon*2
こういうやつ以外は大抵2)か3)を満たせないblu3mo.icon
$ \R^3の部分空間も調べてみると面白いかもtakker.icon
一次結合: $ vがベクトル空間Vの元の時、$ a_1v_1+...+a_nv_nという形の元 aはスカラーかなblu3mo.icon
スカラーですtakker.icon
一次独立: 「$ a_1v_1+...+a_nv_n=0 ならば $ a_1=...=a_n=0」 別々の方向を向いた2Dベクトルが二つある時、「一次結合が0ならばそれぞれのベクトルのスカラー係数も0」と言える
論理の向き大事blu3mo.icon
まあこれの場合は逆も成り立つけど、向きに注意するのは大事takker.icon
予想: n次元ベクトルの時は、n個の別々の方向を向いたベクトルは一次独立であると言えそう?blu3mo.icon
そうっぽいblu3mo.icon
定理としては、↓がある
定理: 「$ v_1, v_2は一次独立」と「$ O, P_1, P_2は同一直線上にない」は同値であると言える
（ここで、$ v_n=OP_nベクトル）
これを式をいじくり回して証明できる
同じ事を$ ℝ^nで言えるっぽい（n個のvを置く）
nの数について
$ ℝ^nのベクトル空間においてn+1個以上のベクトルが一次独立にはなれない
なぜなら、n個の一次独立ベクトルがある時点でその一次結合でどんなベクトルも表せてしまうので
Lec 1.