集合と写像
集合
集合は重複あっても順番違っても同一
$ \{1, 2\}=\{1, 2, 1\}=\{2, 1\}
この点配列とは違うな
$ \{x\in X|P(x)\} と書く時、Pの条件を満たす全ての要素からなる集合
.filter()みたいなもん
この解釈は新鮮takker.icon
たしかに$ \{x\in X|P(x)\}\subseteq Xだからfilterととらえることもできるのか
$ \{x|x\in X \land P(x)\} ではなく$ \{x\in X|P(x)\} と書くところにfilter味を感じたblu3mo.icon
全体集合を定めた上でその中を走査する感じ
xの型が定まってないとP(x)の評価もできないからこう書くという事かな
このためZFC公理系だと$ \{x\in X|P(x)\}か$ \{x|\exists y\in Y;Q(x,y)\}しか許されないようになっている (ここで$ Q(x,y)は$ \forall y\in Y\exists!x;Q(x,y)を満たす任意の論理式)
なるほど！、繋がったblu3mo.icon
あ、表記は$ \{x|x\in X \land P(x)\} でも大丈夫です
ただ文字数が増えるからあまり使わないかな
この表記の場合、P(x)を確認すべきxの値の集合が明示されていないのは問題にならないのか気になるblu3mo.icon
ZFC公理系の論理式をpassするので特に問題ないですtakker.icon $ A \setminus Bは、A and not Bの範囲を表す記号
新しい記号だblu3mo.icon
\setminusという専用の記号があったりします(書き換えました)takker.icon 感謝blu3mo.icon（TeX何もわからない） 数学記号で調べると、wikipediaに載っていたりしますtakker.icon
結構便利takker.icon
たとえば「0以外の実数」を$ \R\setminus\{0\}で表せる
$ ℝは実数全体の集合
この集合を(変数の数の方向で)一般化した、$ ℝ^nってのがある
$ ℝ^1は、数直線の点全体の集合
$ ℝ^2は、平面の点全体の集合
具体例は$ (1,2)とか$ (-π, e)とか
という流れ
ちゃんと定義するなら、
$ ℝ^3 := \{(x,y,z)|x,y,z\inℝ\}という感じ
少し問いを加えると、$ (x,y,z)の$ ()はどう定義する？という話もあるtakker.icon
直積集合の定義にはもちろん、写像と数列とベクトルの話にも関わってくる
時間のあるときに調べてみるとよいです
一般論として$ ℝ^nを考えつつ、分からなくなったら$ ℝ^1とか$ ℝ^2で図形的イメージを持って考えようと
なるほど〜blu3mo.icon
こういうtips、良い先生みがある
$ X\times Y:=\{(x,y)|x\in X \land y\in Y\}
掛け算といっても、値をくっつけるだけ
$ ℝ^nで累乗記号を使うのは多分ここで積の記号を扱っているからかなblu3mo.icon
そゆことtakker.icon
$ A\times ∅=∅なのは非自明だな
$ A\times ∅:=\{(x,y)|x\in A \land y\in ∅\}の場合、
$ y\in \emptyが常にfalseだから、$ x\in A \land y\in \emptyが常にfalseで、要素は何もない
あ〜でも確かに掛け算みがある、これを積として定義する気持ちがわかるblu3mo.icon というか抽象化した掛け算の定義があるのかな、何か x 0/∅/etc = 0/∅/etc とか
ちなみに空集合は$ \varnothingですtakker.icon