選択公理 - bbr-math-memo

選択公理

Axiom of choice

「空集合を持たない集合の集まり(集合族)に対して、それぞれの集合から1つづつ要素を選んで、新しい集合を作ることができる。」とする公理。

つまり、以下のような操作ができるものとする。

元の集合

$ \lbrace \lbrace a, b, c \rbrace, \lbrace あ, い, う \rbrace, \lbrace \alpha, \beta, \gamma \rbrace \rbrace

選択公理により作られた集合

$ \lbrace a, い, \gamma \rbrace

これを無限個の集合が無限個ある場合でもできると主張するのが選択公理。

「集合族から選択した部分集合の直積が空集合にならない」と言い換えることができる。

$ \prod_{\lambda \in \Lambda}{A_\lambda} \ne 0

素朴な理解であれば単純な操作で自明に見え、問題がなさそうに思える公理である。

そもそもこれが「公理」であるという意味が分からないのが普通。

論理の前提として置く公理にしては複雑すぎるように見える。

他の公理からはこの公理を導くことができない。

他の公理には「選び方」の定義がない。

「集合の要素の『選び方』は定義しないけど、選ぼうとするならば間違いなく選べる」という主張

「無限個の集合(の無限個の集合)からでも要素を選べる」という主張

これに対して命題として真偽を付けることができてしまう。

選んだ要素から組を作ることができることの保証

$ y = f(x)という定義は実は、$ yの定義域という集合から1つ要素を取り出し、$ xの定義域という集合からから1つ要素を取り出し、$ \{y, x\}の組の集合を作るのと同義になる。

つまりよくある関数を集合操作として捉えなおした時に、選択公理は無限集合に対して必ず満たさなければならない命題となる。

同値となる法則(選択公理が真ならばその法則も真、かつ、その法則が真ならば選択公理が真)はいくつか存在する。

問題

集合が無限個あるとすると、それは実行可能なのか? (ここが最も重要な点)

論理的にそうなるはずと言えれば十分なのでは?

少なくとも「その操作はできない」という証明はできない。(仮定はできる。その場合はそれがその系の公理となる。)

「空集合ではない集合の1つの要素を選択する」ということ自体は自明で可能な操作。

「次の1つも同じ操作をする」というのは、自然数の無限、数学的帰納法と同じはず。

可算無限はいいが、非可算無限の場合は?

暗黙のうちに「無限回の操作が可能」と仮定していることが多い。

可算集合の集合に制約したものが可算選択公理になる。