ZF公理系
考案した2人の名前が付いている
書きかけ
集合$ Aの要素と集合$ Bの要素とがすべて等しいならば、集合$ Aと集合$ Bは等しい。
$ \forall A\forall B(\forall x(x\in A \leftrightarrow x\in B)\rightarrow A = B)
要素を持たない集合が存在する。
$ \exists A\forall x(x\notin A)
これを空集合と呼ぶ。$ {\displaystyle \varnothing }と表記する。($ {\displaystyle \emptyset }とどちらがよいか?) 以下、ChatGPTによる簡単な説明(中学生向け)
1. 外延性の公理
「もし2つの集合が全く同じ要素を持っていたら、それらの集合は同じである」と言う公理です。例えば、ある集合Aと集合Bが両方とも要素として「りんご」と「みかん」を持っていたら、AとBは同じ集合と見なされます。
2. 空集合の公理
「要素を一つも持たない集合、つまり空集合が存在する」という公理です。空集合は何も含まない袋のようなものです。
3. 対の公理
「任意の2つの要素に対して、それらの要素のみを持つ集合が存在する」という公理です。たとえば、りんごとみかんがあれば、りんごとみかんだけを要素とする集合が作れるということです。
4. 和集合の公理
「いくつかの集合の全ての要素を合わせた集合が存在する」という公理です。異なる果物が入ったいくつかの袋があったとして、それらの果物を全て一つの大きな袋に入れることができるというイメージです。
5. 無限公理
「無限に要素を持つ集合が少なくとも一つ存在する」という公理です。数が永遠に続くことを想像してみてください。その数全てを含む集合が存在します。
6. 置換の公理スキーマ
「あるルールに基づいて集合の要素を別の要素に置き換えたとき、その結果として得られる要素全てを含む集合が存在する」という一連の公理です。例えば、すべての果物を野菜に置き換えるルールがあったとして、そのルールによって新しい野菜の集合が作られるということです。
7. 冪集合の公理
「ある集合の全ての部分集合を要素とする集合が存在する」という公理です。部分集合とは、元の集合に含まれる要素のいくつかまたは全部を含む集合のことです。
8. 正則性の公理
「どのような集合も、自分自身を要素として含むような回りくどい関係にはならない」という公理です。これは、集合が無限に自分自身を含むような奇妙な状態を防ぐためのルールです。