負の数の足し算
$ 1 - 0 = 1
$ 1 - 1 = 0
ここまでは自然数の範疇。
まず、負の数は正の数より大きな正の数を引いたときに現れる。
$ 1 - 2 = x
この時、逆演算として、$ x + 2 = 1および加算の交換法則から$ 2 + x = 1となるのが望ましい。 ここで
その数は、足したときに引き算と同等の効果を持つこと。
から、負の数は一般にマイナスの符号を付けて表され、ここでは$ x = -1となる。
$ 1 - 2 = -1
負の数が含まれた時にどう計算することになるのかを考える。
以下混乱しないように、aとbの位置は固定、それぞれ0または正の値とする。
$ (-a) + b = b - a \quad (a \ge 0, b \ge 0)
$ a + (-b) = a - b \quad (a \ge 0, b \ge 0)
$ (-a) + (-b) = (-a) - b = (-b) - a = -(a + b) \quad (a \ge 0, b \ge 0)