組合せ - bbr-math-memo

組合せ

Combination

表記にブレが多い

組合せ、組み合せ、組み合わせ

$ n個の要素がある中から、$ k個取り出して、その順序を並べ替えただけのものを1つにまとめたもの。

取り出した要素の順序が要求されるのが順列。順序が不定でもよいものが組合せ。

3個の要素($ \{1, 2, 3\})の中から3個取り出した時の組合せ

$ \{1, 2, 3\}

3個の要素($ \{1, 2, 3\})の中から2個取り出した時の組合せ

$ \{1, 2\}

$ \{1, 3\}

$ \{2, 3\}

それぞれが別のものの k 個の中から n 個を選んだ時の組合せの数

$ \binom{n}{k} = {}_n \mathrm{C}_k = \frac{n!}{(n-k)!k!}

学校では$ {}_n \mathrm{C}_kとして教えられる。C は Combination の頭文字。

順列の途中までを取り出して、取り出したものの重複する順列の数で割ったものと考えるとわかる。

$ {}_n \mathrm{C}_k = \frac{{}_n \mathrm{P}_k}{{}_k \mathrm{P}_1} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}