有理数の集合がアレフゼロであることの証明

よく知られている証明

分母と分子とで2次元の表にして、順番に自然数を割り当てる。

通分すると同じ値になるものがあるため、厳密性がない。

分母と分子を通分した後、それぞれを素因数分解して、その素因数を重複しないように合成する。

厳密な解

分母と分子とで2次元の表にして、順番に自然数を割り当てる。

https://gyazo.com/b82d583d42b6ccd837ec535d5b64897d

これは正の値のみだが、負の数に拡張することができる。(とにかく順番さえ守れればよい。)

分母と分子を通分した後、それぞれを素因数分解して、その素因数を重複しないように合成する。

分母と分子を通分すると必ず、互いに素となる。

これを自然数と対応付けすればよい。

$ \mathbb{Q} \longrightarrow \N, \frac{{p_1}^{n_1} {p_2}^{n_2} \cdots {p_k}^{n_k}}{{q_1}^{m_1} {q_2}^{m_2} \cdots {q_j}^{m_j}} \longmapsto {p_1}^{2n_1} {p_2}^{2n_2} \cdots {p_k}^{2n_k} {q_1}^{2m_1 - 1} {q_2}^{2m_2 - 1} \cdots {q_j}^{2m_j - 1}

$ p_k, q_jは素数

$ A \longrightarrow B, a \longmapsto b というのは、$ Aから$ Bの集合への写像であり、その写像の対応方法は$ a を$ bにする、という意味。

別の数と衝突しないように、分子と分母の素数の指数部を偶数と奇数に分けてマッピングすると、すべての自然数にきれいにマッピングされる。