ガウス積分

$ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}

y=e^(x^2)「イーのエックス二乗乗」は積分できないんですか？

なぜかちゃんと書いてある説明が見当たらない。

回転体とみなす方法

$ f_1(x) = e^{-x^2}

回転体とみなすと以下のように変形できる。

$ f_2(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} = e^{-r^2}

体積として求める

として、積分する。

$ \int_0^\infty{2\pi r e^{-r^2}dr}

これは原始関数が分かっている。

$ \pi\int_0^\infty{2 r e^{-r^2}dr} = \pi \Big\lbrack -e^{-r^2} \Big\rbrack_0^{\infty} = \pi\big(-e^{-\infty^2} - (-e^{-0^2})\big) = \pi(0 - (-1)) = \pi

$ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-y^2}dxdy = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy\bigg)dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy

$ \int_0^\infty{2\pi r e^{-r^2}dr} = \pi = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy

ここで、以下が成り立つため

$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}dy

$ \bigg(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx \bigg)^2 = \pi

$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}

(かなり強引な気がする)

メモ